Cтраница 2
В [58] доказана неразрешимость элементарной теории свободных нильпотентных групп и указана интересная алгебраическая связь между кольцами и группами. В [59] доказана неразрешимость элементарной теории свободных разрешимых групп. Поток исследований различных авторов вызвала работа А. И. Мальцева [57], где доказана неразрешимость элементарных теорий некоторых полей и поставлен ряд проблем. [16]
Для любого диофантова уравнения D можно построить бескоэффициентное уравнение в свободной нильпотентной группе G Fn ( % k) достаточно большого ранга п при k 9, имеющее решение в G в том и только том случае, если уравнение D разрешимо в целых числах. Аналогичное утверждение верно, если в качестве G брать свободную разрешимую группу ступени / 2 достаточно большого ранга ( Романь-ков В. А. / / Алгебра и логика. [17]
Для любого диофантова уравнения D можно построить бескоэффициентное уравнение в свободной нильпотентной группе GFn ( 9lk) достаточно большого ранга п при k 9, имеющее решение в G в том и только том случае, если уравнение D разрешимо в целых числах. Аналогичное утверждение верно, если в качестве G брать свободную разрешимую группу ступени / 2 достаточно большого ранга ( Р о м а н ь - ков / / Алгебра и логика. [18]
Группа G тогда и только тогда является У. Абелевы группы без кручения, локально нильпотентные группы без кручения, свободные, свободные разрешимые группы суть У. Двуступенно разрешимая группа, для всякого неединичного элемента х к-рой i. [19]
Для свободной группы F все факторы F / F кручения не имеют. Поэтому, полагая в теореме 1 А Р ( п - Ъ, получаем, в частности, что любые два коммутирующих элемента свободной разрешимой группы или принадлежат последнему неединичному коммутанту этой группы, или являются степенями одного и того же элемента ее. [20]
Имеется большое число признаков упорядочивасмо-сти группы. Упорядочиваемые группы являются группами без кручения с однозначным извлечением корня. Упорядочиваемыми являются все абелевы группы без кручения, нильпотентные группы без кручения, свободные группы и свободные разрешимые группы. Факторгруппа упорядочиваемой группы по ее центру упорядочиваема. [21]
Тогда группа G F / N является расширением абелевой группы N / N посредством группы Н F / N. Если Н - разрешимая группа ступени п, то G - разрешимая ступени л 1, и если Н - свободная разрешимая группа, то G - также свободная разрешимая группа ступени разрешимости на единицу больше. Эта конструкция позволяет индукцией по ступени разрешимости получать результаты о свободных разрешимых группах и группах, близких к ним. [22]
Тогда группа G F / N является расширением абелевой группы N / N посредством группы Н F / N. Если Я - разрешимая группа ступени п, то G - разрешимая ступени n - f - 1, и если Я - свободная разрешимая группа, то G - также свободная разрешимая группа ступени разрешимости на единицу больше. Эта конструкция позволяет индукцией по ступени разрешимости получать результаты о свободных разрешимых группах и группах, близких к ним. [23]
Тогда группа G F / N является расширением абелевой группы N / N посредством группы Н F / N. Если Н - разрешимая группа ступени п, то G - разрешимая ступени л 1, и если Н - свободная разрешимая группа, то G - также свободная разрешимая группа ступени разрешимости на единицу больше. Эта конструкция позволяет индукцией по ступени разрешимости получать результаты о свободных разрешимых группах и группах, близких к ним. [24]
Тогда группа G F / N является расширением абелевой группы N / N посредством группы Н F / N. Если Я - разрешимая группа ступени п, то G - разрешимая ступени n - f - 1, и если Я - свободная разрешимая группа, то G - также свободная разрешимая группа ступени разрешимости на единицу больше. Эта конструкция позволяет индукцией по ступени разрешимости получать результаты о свободных разрешимых группах и группах, близких к ним. [25]
Тогда группа G F / N является расширением абелевой группы N / N посредством группы Н F / N. Если Н - разрешимая группа ступени п, то G - разрешимая ступени л 1, и если Н - свободная разрешимая группа, то G - также свободная разрешимая группа ступени разрешимости на единицу больше. Эта конструкция позволяет индукцией по ступени разрешимости получать результаты о свободных разрешимых группах и группах, близких к ним. [26]
Тогда группа G F / N является расширением абелевой группы N / N посредством группы Н F / N. Если Я - разрешимая группа ступени п, то G - разрешимая ступени n - f - 1, и если Я - свободная разрешимая группа, то G - также свободная разрешимая группа ступени разрешимости на единицу больше. Эта конструкция позволяет индукцией по ступени разрешимости получать результаты о свободных разрешимых группах и группах, близких к ним. [27]