Cтраница 2
Теперь простая проверка показывает, что р - невырожденная кососимметрическая билинейная форма на X. Поскольку симплектическая группа на векторном пространстве определяется как группа всех линейных преобразований, сохраняющих невырожденную кососимметрическую билинейную форму, то естественно использовать термин симплектический в наименовании р-групп указанного общего вида. [16]
Легко проверить, что любое комплексное симплектическое преобразование переводит лагранжеву плоскость снова в лагранже-ву. Оказывается, комплексная симплектическая группа транзитив-на на множестве всех комплексных лагранжевых плоскостей. [17]
Несколько слов о терминологии. Представление ( проективное) симплектической группы иногда называют представлением А. Лере [5] придерживается терминологии А. [18]
Все такие торы сопряжены в симплектической группе. [19]
Как легко проверить, произведение двух симплектических матриц, обратная матрица для любой симплектической и единичная матрица являются снова симплектическими матрицами. Поэтому симплектические матрицы образуют группу - симплектическую группу. [20]
Выше мы видели, что эрмитово скалярное произведение представляется в виде ( а, Ъ i ( a, Ь), где вещественная часть ( а, Ь) совпадает с симметричным евклидовым скалярным произведением, а мнимая часть ( а, Ь) совпадает с кососкалярным произведением. Ниже мы более подробно опишем взаимные включения и пересечения симплектических групп с другими основными матричными группами. [21]
Экспонента оператора задает экспоненциальное отображение Н к - ехр ( 77) Hk / k пространства гамильтоновых операторов в симплектическую группу. Симплектическая группа дейсвует сопряжениями на себе и на своей алгебре Ли. Экспоненциальное отображение инвариантно относительно этого действия: exp ( G - lHG) G - l ехр ( Я) С. [22]
Экспонента оператора задает экспоненциальное отображение Н к - ехр ( 77) Hk / k пространства гамильтоновых операторов в симплектическую группу. Симплектическая группа дейсвует сопряжениями на себе и на своей алгебре Ли. Экспоненциальное отображение инвариантно относительно этого действия: exp ( G - lHG) G - l ехр ( Я) С. [23]
Рассмотрим нормализатор 7V ( Tn) g G Sp ( F2n) Tng-1 Tn тора Tn в симплектической группе. Фактор-группа W 7V ( Tn) / Tn называется группой Вейля. Элементы тора сопряжены в симплектической группе тогда и только тогда, когда они лежат в одной орбите этого действия. [24]
Вслед за этим было получено [1] решение К. О), п2, или Sp ( 2n, О), 1, где Sp обозначает симплектическую группу. Условие односвязности является существенным, ибо из теоремы о сильной аппроксимации следует, что для неодносвязной полупростой группы G конгруэнц-ядро c ( G) бесконечно. [25]
Росток функции в критической точке называется простым, если его окрестность в пространстве ростков функции в этой точке покрывается конечным числом классов эквивалентности. Понятие простоты, вообще говоря, зависит от отношения эквивалентности и применимо к любому действию группы Ли на многообразии. Число параметров ( модулей), необходимых для параметризации орбит в окрестности данной точки многообразия, называется модальностью точки. Примеры: модальность любого квадратичного гамильтониана в Е2п относительно действия симплектической группы равна п; критическое значение является модулем относительно R-эк-вивалентности в пространстве ростков функций в данной точке, но не является модулем для - эквивалентности в этом пространстве. [26]