Cтраница 2
И в заключение Енс Карстен Янцен знакомит нас с деятельностью специалистов по комб ина-торике - людей, которые делают с конечными множествами все мыслимое и немыслимое, а потом спрашивают себя, сколькими способами это можно сделать. Он рассказывает нам о перестановках ч разбиениях, диаграммах Юнга и канонических таблицах, а также об удивительной связи между этими комбинаторными понятиями. Затем мы узнаем, чем занимаются специалисты по теории представлений и сколь многим обязаны специалистам по комбинаторике те, кто изучает представления симметрических или общих линейных групп. И наконец, новый поворот темы о связи теории представлений с комбинаторикой: теория представлений возвращает долг комбинаторике, унифицируя и обобщая знаменитые тождества Эйлера, Гаусса и Якоби для степенных рядов. [16]
В основе этого метода лежит следующее построение. Тогда GL ( E является общей линейной группой порядка п2 над F. Стандартные линейные преобразования образуют подгруппу Stn ( F) в GLp ( E), которая имеет структуру сплетения Stn ( F) GLn ( F WrZ2, где Ъ - группа, порожденная транспонированием. Легко видеть, что множество Fix / S имеет структуру моноида по отношению к операции композиции. В общем случае, моноид FixS не является подгруппой в GLf ( E), так как включение T ( S) С S не обязательно влечет равенство T ( S) - S. Диксоном, см. [35], было показано, что в случае алгебраического подмножества S С Mn ( F) отображение Т действует на S сюръективно. Следовательно, в этом случае, моноид Fix S имеет структуру группы. [17]
Как сказано, нашей задачей является изучение ортогональных и симплектических представлений полупростых групп. Эти представления - частный случай общих линейных представлений, которые известны. Однако общие линейные представления классифицируются с точностью до эквивалентности в общей линейной группе, в то время как симплектические и ортогональные представления должны быть определены с точностью до симплектической или соответственно собственно ортогональной эквивалентности. [18]