Cтраница 2
Всякая связная полупростая виртуальная подгруппа Ли G GL ( V) является подгруппой Ли, причем G алгебраична, если К С, и G есть связная компонента единицы неприводимой алгебраической линейной группы, если К К. [16]
Аналогично, если Я - нормальная подгруппа, то мы можем, в обозначениях теоремы 10, отождествить факторгруппу G / H с группой Г ( С), которая по теореме 3 является алгебраической линейной группой. [17]
Ли) G, которые разрешимы в смысле обычного определения теории групп. Оказывается, что это те и только те группы, алгебры Ли которых разрешимы, а для того чтобы группа G была нильпотентна ( в смысле определения Цассенхауза, см. Zassenhaus, Lehrbuch der Gruppentheorie), необходимо и достаточно, чтобы ее алгебра Ли была нильпотентна. Неприводимые алгебраические линейные группы G, алгебры Ли д которых состоят из нильпотентных операторов, обладают замечательными свойствами. В такой группе канонические координаты ( относительно некоторого базиса алгебры Ли) образуют систему координат для всей группы, причем координаты произведения двух элементов выражаются полиномами от координат множителей. [18]
Не каждая алгебраическая группа определяется такими своими инвариантами, однако известно ( см. К. Шевалле), что каждая алгебраическая линейная группа определяется конечным набором своих полуинвариантов ( собственных векторов) в Q. Опираясь на это важное свойство, Ю. И. Мерзляков показал, что каждая алгебраическая линейная группа над полем нулевой характеристики рационально изоморфна некоторой группе матриц, определяемой конечным набором полилинейных операций. [19]
В этом пункте будет доказано, что комплексная алгебраическая линейная группа вполне приводима тогда и только тогда, когда она редуктивна. В основе доказательства лежит полная приводимость компактных линейных групп, доказанная в § 3.4. Далее, вполне приводимые вещественные алгебраические линейные группы - это вещественные формы комплексных редуктивных групп. В частности, оказывается, что любое линейное представление вещественной полупростой алгебры Ли вполне приводимо. Вей-лю [34], часто называют унитарным трюком. Все рассматриваемые линейные группы и линейные представления действуют в конечномерных векторных пространствах над полем С или К. [20]
Тогда Q logG с: L ( V) есть ком-мутати time подпространство, состоящее из нилъпотентных линейных операторов, и отображение exp: g - G есть изоморфизм вектор-ной группы д на группу G. Обратно, если L ( V) - коммутативное подпространство, состоящее из нилъпотентных линейных операторов, то G - exp g с: GL ( V) есть коммутативная унипотентная алгебраическая линейная группа. [21]
Не каждая алгебраическая группа определяется такими своими инвариантами, однако известно ( см. К. Шевалле), что каждая алгебраическая линейная группа определяется конечным набором своих полуинвариантов ( собственных векторов) в Q. Опираясь на это важное свойство, Ю. И. Мерзляков показал, что каждая алгебраическая линейная группа над полем нулевой характеристики рационально изоморфна некоторой группе матриц, определяемой конечным набором полилинейных операций. [22]