Cтраница 2
Эти положительные преобразования составляют лишь часть преобразований Лоренца с определителем, равным единице. Исследование структуры этих более общих множеств преобразований и расширение линейных представлений группы положительных преобразований Лоренца на случай полной группы Лоренца представляет некоторые особенности по сравнению с группой ортогональных преобразований в трехмерном пространстве. [16]
Мы уже имели случай отмечать, что СП-соотношения между сохраняющимися величинами характеризуют ту группу преобразований, из-за инвариантности действия относительно которых эти сохраняющиеся величины возникают, а не механическую систему, для которой они конкретно находятся. Поэтому найденные выше соотношения в скобках Пуассона ( 26) между десятью фундаментальными динамическими величинами должны выполняться для любой системы, инвариантной относительно преобразований полной группы Лоренца. Это есть условия релятивистской инвариантности теории, записанной в гамильтоно-вой форме. [17]
Соответствие между трехмерным поворотом и парой отличающихся знаком матриц ( 3) задает двузначное неприводимое представление веса 1 / 2 группы вращений. Соответствие между собственным преобразованием Лоренца и произведением матриц ( 3) и ( 4) задает ( двузначное) спинорное представление собственной группы Лоренца. Представления полной группы Лоренца реализуются в пространстве С. [18]
Далее, это представление точно, поскольку в нем разные бинарные матрицы и изображаются разными преобразованиями м Ти. В силу взаимно однозначного соответствия между бинарными матрицами и преобразованиями пространства биспиноров и, можно считать, что эти последние составляют другую реализацию группы SL ( 2), накрывающей по указанным выше правилам специальную группу Лоренца. В этой повой ( четырехмерной) реализации удается осуществить расширение группы SL ( 2) до большей группы, накрывающей полную группу Лоренца. [19]
Случай а) представляет собой преобразование пространственного отражения, случай б) - отражения времени, случай в) - пространственно-временного отражения. В случае в) он равен 1, но лишь как результат двух разрывных преобразований. Однако изучение отражений в трехмерном пространстве показывает, что при этом мы не получаем ничего нового. Отражение же только в двух направлениях не изменяет знака определителя, а потому может быть сведено к непрерывному преобразованию вращения. Первоначально сделанный выбор преобразований, не изменяющих ориентации, определяет группу преобразований, называемую обычно собственной группой Лоренца. Совокупность всевозможных преобразований Лоренца ( включающая указанные выше преобразования отражения а, б, в) называется полной группой Лоренца. Итак, полная группа Лоренца распадается на четыре связные области - четыре компоненты. [20]
Случай а) представляет собой преобразование пространственного отражения, случай б) - отражения времени, случай в) - пространственно-временного отражения. В случае в) он равен 1, но лишь как результат двух разрывных преобразований. Однако изучение отражений в трехмерном пространстве показывает, что при этом мы не получаем ничего нового. Отражение же только в двух направлениях не изменяет знака определителя, а потому может быть сведено к непрерывному преобразованию вращения. Первоначально сделанный выбор преобразований, не изменяющих ориентации, определяет группу преобразований, называемую обычно собственной группой Лоренца. Совокупность всевозможных преобразований Лоренца ( включающая указанные выше преобразования отражения а, б, в) называется полной группой Лоренца. Итак, полная группа Лоренца распадается на четыре связные области - четыре компоненты. [21]