Cтраница 2
Угловые волновые функции изолированного атома или иона в свободном пространстве - сферические гармоники. Они принадлежат различным представлениям полной группы вращений плюс инверсия. Частные представления этой группы определяются орбитальным моментом количества движения. Если ион находится в кристалле, то его симметрия сводится к подгруппе полной группы вращения, допускающей неприводимое представление исходной группы в данной подгруппе. [16]
Сравнительно недавно Балдеречи и Липари [4.14, 4.15] развили другой, более систематизированный подход к решению этой проблемы. Запись этого гамильтониана отражает кубическую симметрию кристалла. Заметив, что отступления от сферической симметрии в гофрированных зонах тяжелых и легких дырок для большинства полупроводников малы, Балдеречи и Липари переписали гамильтониан Латтинжера, используя вместо декартовых тензоров сферические тензоры. Идея заключалась в том, что все операции симметрии сферически-симметричного потенциала образуют группу, известную полная группа вращений. Сферические гармонические функции образуют полный ортонормированный набор базисных функций для неприводимых представлений этой группы. Поэтому симметризация гамильтониана Латтинжера со сферическими тензорами является способом систематического разделения гамильтониана Латтинжера на члены со сферической и кубической симметрией. [17]
Непрерывной группой Ли называется бесконечная группа, каждый элемент которой может быть задан с помощью конечного числа параметров. Например, повороты на произвольный угол вокруг фиксированной оси образуют группу Ли. Эта группа имеет размерность, равную 1, так как каждый поворот определяется одним параметром - углом поворота. Полная группа вращений является группой Ли размерности 3, так как каждое вращение характеризуется тремя параметрами, например углами Эйлера. [18]
Непрерывной группой Ли называется бесконечная группа, каждый элемент которой может быть задан с помощью конечного числа параметров. Минимальное число параметров, определяющих каждый элемент группы, называется размерностью группы Ли. Например, повороты на произвольный угол вокруг фиксированной оси образуют группу Ли. Эта группа имеет размерность, равную 1, так как каждый поворот определяется одним параметром - углом поворота. Полная группа вращений является группой Ли размерности 3, так как каждое вращение характеризуется тремя параметрами, например углами Эйлера. [19]
Пусть частица, движется в сферически симметричном потенциале. Ясно, что вращение вокруг оси в трехмерном пространстве является операцией симметрии. Можно показать, что набор всех вращений образует бесконечную группу, называемую полной группой вращений ( см., например, книги по теории групп, на которые приводятся ссылки в гл. Вращения на разные углы относятся к разным классам: существует бесконечное число классов. Поэтому имеется также бесконечное число неприводимых представлений. Из квантовой механики мы знаем, что угловой момент I является хорошим квантовым числом для частиц, движу щихся в сферически симметричном потенциале. Оказывается, что для целых значений I эти функции представляют собой базисные функции для неприводимых представлений полной группы вращений. [20]