Cтраница 2
Поскольку при п З фундаментальная группа многообразия [ 0, T ] xS ( R / z) тривиальна, фиксируя в одной точке ( о ь 1) знак каждого собственного вектора, однозначно определяем его всюду на этом многообразии. [16]
В частности, построенная формула дает новую конструкцию рациональных классов Понтрягина по локальной комбинаторной структуре на многообразии X. Пуанкаре совпадает с алгебраическим комплексом Пуанкаре из работы [46], а его сигнатура совпадает с сигнатурой многообразия в когомологиях с соответствующей локальной системой коэффициентов. Пуанкаре может быть получен из универсального алгебраического комплекса Пуанкаре над групповой алгеброй фундаментальной группы тг многообразия X путем замены колец. При этом сигнатура этого почти алгебраического комплекса Пуанкаре вычисляется как образ симметрической сигнатуры многообразия X при замене колец. [17]
Имеются некоторые отдельные результаты по проблеме классификации. Папакирьякопулос с помощью теоремы о петле и леммы Дена доказал, что по модулю гипотезы Пуанкаре полные крендели характеризуются своей фундаментальной группой. В [130, 131] Эпштейн доказывает, что если фундаментальная группа есть нетривиальное прямое произведение двух групп, одна из которых бесконечна, то одна из них есть бесконечная циклическая. Этот результат интересно сопоставить с теоремой Столлингса [225], что если фундаментальная группа многообразия имеет конечно порожденную подгруппу, фактор-группа по которой бесконечная циклическая, то эта подгруппа является на деле фундаментальной группой некоторой поверхности, лежащей в многообразии. При этом, если фактор-группа не есть циклическая второго порядка, а многообразие неприводимо, то оно есть пучок над окружностью, слоем которого служит упомянутая поверхность. [18]
Такие траектории представляют часть тривиальной компоненты фундаментальной группы. В отличие от траекторий, рассматриваемых в предыдущем параграфе, замкнутые кривые, которые не стягиваются по фазовому многообразию в точку, могут не существовать. Последнее связано с тем, что топология фазового многообразия может препятствовать существованию нетривиальной компоненты у фундаментальной группы данного многообразия. [19]