Cтраница 2
Если М0, Мг и W односвязны, то, согласно теореме Уайтхеда ( см. приложение А), W будет / г-кобордизмом, если относительные группы гомологии Я ( W, М0) и Ht ( W, М) тривиальны. [16]
Учитывая, что гомотопические группы линейно связных пространств, прикрепленные к разным точкам, изоморфны ( и этот изоморфизм для одно-связных пространств - канонический и единственный), мы не пишем начальную точку при обозначении гомотопических групп. Аналогично для относительных групп, щ ( К, L), если L - линейно связно. [17]
Ядро гомоморфизма х называется относительной группой Брауэра. [18]
Следует подчеркнуть, что теории гомологии и когомологий, развиваемые в части II, уже не являются теориями одного пространства. Для получения точной последовательности пары необходимо рассматривать относительные группы. Однако на категории компактных пространств рассматриваемые в части I и части II теории совпадают. [19]
Это предположение, а также употребленный при его доказательстве метод присоединения к заданному полю побочных полей деления круга дал возможность Артину) доказать так называемый общий закон взаимности для относительно абелевых полей. Этот закон взаимности состоит в том, что относительная группа Галуа относительно абелева поля изоморфна с группой идеальных классов основного поля, относительно которой наше абелево поле есть поле классов. При этом каждую подстановку относительной группы можно сопоставить с определенным идеальным классом в том смысле, что простой идеал основного поля принадлежит к подстановке тогда и только тогда, если он лежит в соответствующем ей классе. Это сопоставление носит характер изоморфизма: произведению соответствует произведение. [20]
Это предположение, а также употребленный при его доказательстве метод присоединения к заданному полю побочных полей деления круга дал возможность Артину) доказать так называемый общий закон взаимности для относительно абелевых полей. Этот закон взаимности состоит в том, что относительная группа Галуа относительно абелева поля изоморфна с группой идеальных классов основного поля, относительно которой наше абелево поле есть поле классов. При этом каждую подстановку относительной группы можно сопоставить с определенным идеальным классом в том смысле, что простой идеал основного поля принадлежит к подстановке тогда и только тогда, если он лежит в соответствующем ей классе. Это сопоставление носит характер изоморфизма: произведению соответствует произведение. [21]
Другая существенная особенность теорий гомологии и когомологий, рассматриваемых в части I, состоит в том, что обе они в терминологии Стинрода и Эйленберга - теории одного пространства. Это означает, что нет необходимости в рассмотрении относительных гомологии и когомологий пар: группы гомологии и когомологий пары ( X, А) совпадают соответственно с группами гомологии и когомологий дополнения Х А. Во многих отношениях эти теории гомологии и когомологий одного пространства проще, чем обычные, в которых фигурируют относительные группы пар. Аналог свойства вырезания превращается в тавтологию и не нуждается в рассмотрении. Становится возможным интуитивное и прямое описание групп юмологий многообразий в старшей размерности без каких-либо предположений типа дифференцируемости, триангулируемости, компактности и даже паракомпактности. [22]