Cтраница 1
Частично упорядоченная группа называется 1-группой ( или структурно упорядоченной группой), если ее частично упорядоченное множество является структурой. [1]
Если частично упорядоченная группа содержит наибольший или наименьший элемент, то она одноэлементна. [2]
АРХИМЕДОВА ГРУППА - частично упорядоченная группа, в к-рой выполняется аксиома Архимеда: из того, что апЪ для всех целых п ( а, Ъ - элементы А. [3]
ВЕКТОРНАЯ ГРУППА - частично упорядоченная группа, вложимая в полное прямое произведение линейно упорядоченных групп. Группа G тогда и только тогда есть В. Частично упорядоченная группа тогда и только тогда является В. [4]
Положительный конус любой частично упорядоченной группы является естественно упорядоченной полугруппой. [5]
Всякую локально нилъпотентную частично упорядоченную группу G без элементов конечного порядка можно доупорядочитъ. [6]
Уже отмечалось, что Аналогичная теорема о кардинальных произведениях частично упорядоченных групп была доказана Е. П. Шимбиревой в более сильной формулировке, именно, что любые два разложения частично упорядоченной группы в со-произведения своих однокомпонентных подгрупп допускают общее уплотнение. Легко видеть, однако, что в этой форме теорема для упорядоченных со-произведений перестае т быть справедливой. [7]
G является положительным конусом некоторого порядка, превращающего G в частично упорядоченную группу, тогда и только тогда, когда К. [8]
Не следует путать порядок группы с порядком в группе, о к-ром см. Упорядоченная группа, Частично упорядоченная группа. [9]
Аналогичная теорема для кардинальных произведений была доказана Биркгофом [5] и обобщена Е. П. Шимбиревой [3] на случай однокомпонентных частично упорядоченных групп. [10]
УПОРЯДОЧЕННОЕ КОЛЬЦО, частично упорядоченное кольцо, - кольцо R ( не обязательно ассоциативное), являющееся частично упорядоченной группой по сложению, в к-ром для любых а, 6, с. [11]
При доказательстве первого из сформулированных утверждений в [1] было показано в качестве промежуточного результата, что всякая нильпотентная частично упорядоченная группа с конечным числом образующих обладает выпуклым центральным рядом, начальные факторы которого без кручения, а последние - периодические группы в случае, если исходная группа вообще имеет элементы конечного порядка. [12]
Уже отмечалось, что Аналогичная теорема о кардинальных произведениях частично упорядоченных групп была доказана Е. П. Шимбиревой в более сильной формулировке, именно, что любые два разложения частично упорядоченной группы в со-произведения своих однокомпонентных подгрупп допускают общее уплотнение. Легко видеть, однако, что в этой форме теорема для упорядоченных со-произведений перестае т быть справедливой. [13]
ВЫПУКЛАЯ ПОДГРУППА - подгруппа Я ( частично) упорядоченной группы G, являющаяся выпуклым подмножеством G относительно заданного отношения порядка. Инвариантные выпуклые подгруппы и только они являются ядрами гомоморфизмов частично упорядоченных групп, сохраняющих порядок. Подгруппа упорядочиваемой группы, выпуклая при всяком линейном упорядочении, наз. Пересечение всех неединичных относительно выпуклых подгрупп упорядочиваемой группы есть абсолютно выпуклая подгруппа, объединение всех собственных относительно выпуклых подгрупп также есть абсолютно выпуклая подгруппа. Абелевы группы без кручения не имеют нетривиальных абсолютно выпуклых подгрупп. [14]
Группа G называется частично упорядоченной, если для некоторых пар ее элементов определено соотношение а Ъ, обладающее следующими свойствами: а С а; если а Ъ, & с, то а с; если а Ъ, с ЕЕ G, то ас С Ьс и са сб. Если для каждой пары различных элементов а, Ъ частично упорядоченной группы имеет место а Ъ или 6 а, то группа называется упорядоченной. Говорят, что частично упорядоченная группа G доупорядочиваема, если отношение а С Ъ, определенное в G лишь для некоторых пар элементов, можно так доопределить для остальных пар, чтобы группа G стала упорядоченной. Им же было показано, что теорема о доупорядочиваемости имеет место для более широкого класса частично упорядоченных двуступенных. Мы показываем, что теорема о доупорядочиваемости имеет место для произвольных локально нильпотентных групп без элементов конечного порядка. [15]