Cтраница 3
В аксиомах благосостояния, рассматриваемых в этой главе, развивается эта антропоморфическая идея. Коллективное благосостояние описывается индексом коллективной полезности, вычисляемым автоматически по индивидуальным полез-ностям. В частности, любые два вектора индивидуальных полезностей должны быть сравнимы, и эти сравнения должны быть транзитивны. [31]
Важным частным случаем взаимного расположения векторов является тот, когда они взаимно перпендикулярны. Перпендикулярные векторы называются также ортогональными. Если нам дан некоторый набор векторов, в котором любые два вектора ортогональны друг другу, то этот набор называется ортогональной системой векторов. [32]
Поэтому b - ka и, следовательно, векторы я и 6 линейно зависимы. Если а О, то векторы а и Ь линейно зависимы по общим соображениям. Таким образом, любые два вектора на прямой линейно зависимы. С другой стороны, любые два вектора на прямой, по определению, коллинеарны. Таким образом, для векторов на прямой наше предложение справедливо. [33]
При таком определении сложения и умножения все аксиомы линейного пространства соблюдаются. Чтобы убедиться и этом, достаточно заметить, что сами комплексные числа изображаются векторами на плоскости и что у нас сложение векторов и умножение комплексного числа а на вектор а определены точно так же, как обычно определяют сложение комплексных чисел и умножение комплексного числа а на комплексное число а. Поэтому в нашем случае аксиомы 1) - 8) соблюдены, поскольку они соблюдены для комплексных чисел. Теперь какой-нибудь один ненулевой вектор образует линейно независимую систему, а любые два вектора линейно зависимы ( поскольку умножение включает поворот), так что полученное комплексное пространство является одномерным. [34]
Используя свой результат, Дельсарт показал, что значение А ( п, d) ограничено решением некоторой задачи линейного программирования. Одним из ее достоинств является ее общность. Одним из таких близко связанных с уже описанной кодовой проблемой вопросов является вопрос определения функции A ( n d w) - максимального числа векторов, содержащих w единиц и п - w нулей и обладающих тем свойством, что любые два вектора различаются по меньшей мере в d местах. Такое множество векторов называется равновесным кодом. [35]