Cтраница 2
Важный момент в отношении изменения как концепции заключается в том, что эта концепция требует абстрактного мышления. Осознание изменения связано со способом мышления, характеризующимся использованием абстракций; отсутствие этого осознания отражает отсутствие абстрактного мышления. [16]
Не зная ее хотя бы поверхностно, очень трудно понять примеры использования абстракции в физике: квантовая механика - основа современной физики. [17]
Но, возникает вопрос о том, с какого рода построением связано множество всех действительных чисел или множество всех натуральных чисел как единый объект исследования. Есть серьезные основания считать, что объекты, существование к-рых устанавливается без использования абстракции актуальной бесконечности, а лишь в рамках гораздо более скромной абстракции потенциальной осуществимости, имеют более непосредственное отношение к реальной действительности. Однако при обычной теоретико-множественной трактовке не делается никакого различия между объектами, существование к-рых можно подтвердить с помощью нек-рого потенциально осуществимого построения, и абстрактными теоретико-множественными объектами исследования. Способы установления свойств обоих типов объектов в классич. В области бесконечного эти законы не ориентированы на аффективное построение объектов, существование к-рых утверждается. Фактически такое положение дел приводит к появлению в математике так наз. Обычное доказательство этой теоремы не дает никаких указаний на метод построения искомого максимума. Это обстоятельство может и не смущать теоретико-множественно настроенного математика: он может считать, что максимум есть у всякой функции рассматриваемого класса, независимо от того, можно его отыскать в каждом частном случае или нет, есть как объект нек-рого воображаемого мира ( платонист-ского мира, см. [6], с. Однако такой подход не удовлетворяет, если принять во внимание возможности субъекта-исследователя. Имеется ли способ отыскания максимума, и если этот способ не указан, то в каком смысле верно, что максимум существует у всякой функции рассматриваемого класса. Известно, сколь трудной является задача поиска экстремума у функций даже весьма узкого класса ( многочлены с рациональными коэффициентами от нескольких переменных), и, что существенно, указанная теорема нисколько не помогает в решении этой задачи. Заметим, что описанная выше критика классич. Появление антиномий можно рассматривать как дополнительный довод в пользу неудовлетворительности теоретико-множественного подхода, но критика относится и к таким разделам математики, где антиномий не возникает. [18]
Ранее мы рассматривали такие отношения между понятиями, для которых определены специальные правила, позволяющие по интенсионалам исходных понятий перейти к интенсионалу искомого понятия, а также указать формулы, позволяющие определить его схему на основе схем базовых понятий. Однако при формальном описании очень часто встречается ситуация, когда нет необходимости в такой сильной интеграции понятий, хотя определенные связи между понятиями следует отразить. Данная возможность обеспечивается путем использования абстракции ассоциации. Связь между двумя независимыми понятиями, при которой необходимо учесть соответствие между экземплярами сущностей, принадлежащих экстенсионалам понятий одного или разных типов, называется ассоциацией. [19]
Применение математического анализа, дифференциального и интегрального исчислений для решения химических задач представляет собой пример того, как, исходя из конкретного ( законы химической кинетики) и переходя к абстрактному ( дифференциальным уравнениям), удается глубже проникнуть в существо явления. Это убедительно подтверждает правильность высказанных В. И. Лениным положений о том, что мышление, восходя от конкретного к абстрактному, не отходит - если оно правильное... Математическое моделирование конкретных химических процессов, использование математических абстракций для их познания наглядно подтверждает раскрытую В. И. Лениным диалектику процесса познания. [20]
Простейшим примером в этом смысле является понятие бесконечно малой в математике, история формирования и обоснования которого как важнейшего термина математического анализа достаточно известна. Определенно можно сказать лишь то, что интуитивные связи, посредством которых осуществляется математическая символизация, формируются на уровне личностного практического освоения математики. Понятно, что при этом, в случае отсутствия понимания в процессе математического познания, возможно неосознанное, чисто автоматическое использование абстракций, когда в них видят нечто вроде счетных палочек. [21]
Разработка абстрактных моделей для данных и способов обработки этих данных является важнейшим компонентом в процессе решения задач с помощью компьютера. Примеры этого мы видим на низком уровне в повседневном программировании ( когда, например, как обсуждалось в главе 3, мы используем массивы и связные списки) и на высоком уровне при решении прикладных задач ( как было продемонстрировано в главе 1, во время использования бора union-find при решении задачи связности. В настоящей главе рассматриваются абстрактные типы данных ( abstract data type, в дальнейшем АТД), позволяющие создавать программы с использованием высокоуровневых абстракций. За счет применения абстрактных типов данных появляется возможность отделять абстрактные ( концептуальные) преобразования, которые программы выполняют над данными, от любого конкретного представления структуры данных и любой конкретной реализации алгоритма. [22]
Догматический способ мышления опирается на доктрину, которая применима ко всем вообразимым ситуациям. Его постулаты являются абстракциями, которые существуют за пределами непосредственного наблюдения, часто невзирая на него. Использование абстракций приносит всевозможные усложнения, которых был лишен традиционный способ мышления. Будучи и так далеко не простым, догматический способ мышления может стать даже более сложным, чем критический. [23]
В отсутствие изменений мозг должен иметь дело лишь с одним набором обстоятельств - с тем, который существует в текущий момент. То, что произошло раньше, и то, что произойдет в будущем, идентично тому, что происходит сейчас. Прошедшее, настоящее и будущее составляют единое целое, и весь спектр возможностей сокращается до одного конкретного случая: положение вещей является таким, каким оно есть, поскольку оно не может быть иным. Этот принцип в огромной степени упрощает задачу мышления; разум должен работать только с конкретной информацией, и всех осложнений, возникающих в результате использования абстракций, можно избежать. [24]
Метод порождения и проверки является довольно слабым методом, применимым только в случае, когда возможны отсечения на ранних этапах. Он основывается на возможности порождать кандидатов на возможные решения таким образом, что большие классы решений могут быть отсечены на этапе, когда построено лишь очень приближенное частичное решение. Во многих приложениях, решения могут быть отброшены только после того, как будут определены существенные детали этих решений. К счастью, не во всех приложениях необходимо искать все возможные решения и выбирать среди них лучшее. Несколько следующих случаев описывают способы проведения рассуждений с использованием абстракций для того, чтобы сократить перебор, не прибегая к отсечениям решений на ранних этапах поиска. Представленные методы обычно применимы в соответствующих задачах. [25]
Метод порождения и проверки относится к числу слабых методов. Он применим только в случае, когда возможны отсечения на начальных этапах. Для этого требуется способность строить решения-кандидаты таким способом, при котором оказывается возможным отсекать большие классы при очень разреженных частичных решениях. Во многих приложениях решения могут быть отброшены лишь после существенной их детализации. К счастью, не при всех приложениях возникает необходимость искать все возможные решения и выбирать среди них наилучшее, а достаточно иметь удовлетворительное решение. В нескольких следующих примерах описываются способы проведения рассуждений с использованием абстракций для того, чтобы сократить перебор вариантов, не прибегая к отсечениям на ранних этапах поиска. Представленные методы обычно применимы там, где достаточно иметь удовлетворительное решение. [26]
При всех этих усложнениях почему же люди вообще используют абстрактные концепции. Пока мир может считаться неизменяющимся, они вообще не используют абстракции. Даже когда абстракции становятся неизбежными, они предпочитают относиться к ним как к части реальности, а не как к продукту своего собственного мышления. Только горький опыт учит их различать собственные мысли и реальность. Тенденция к тому, чтобы не замечать усложнений, связанных с использованием абстракций, должна рассматриваться как слабость критического способа мышления, поскольку они ему необходимы, и чем меньше они понимаются, тем большее непонимание они создают. [27]
С понятием эффективности связываются ресурсы, затраченные на обработку, хранение или передачу данных при использовании того или иного формата. На первый взгляд векторные и языковые форматы оказываются эффективными для хранения, потому что они используют геометрические абстракции, такие как линии и дуги, хотя множество из них выполняются на ASCII, который в этом отношении неэффективен. Кроме того, они требуют дополнительных ресурсов и разработки программного обеспечения для кодирования или декодирования этих абстракций. Например, принтер ПостСкрипт требует либо больше времени, либо больше ресурсов для декодирования графики по сравнению с чисто bitmap принтером. Тем не менее, передача векторного изображения на принтер ПостСкрипт может оказаться быстрее, чем передача изображения bitmap на bitmap принтер. Аналогично, технология сжатия изображения уменьшает объем и требования к передаче за счет большей мощности и времени обработки для кодирования и декодирования. В общем случае увеличение ресурсов на один доллар прогрессирует быстрее, чем объем памяти или возможности передачи на один доллар, и, таким образом, диктует увеличение использования абстракции данных и / или сжатия. [28]