Cтраница 2
Как будет доказано в главе IV, обобщенная точка равновесия общего типа не может соответствовать периодическому движению гамильтоповой системы с главной функцией, не зависящей явно от I. [16]
Таким образом, анализ частотных характеристик параметра Я, позволяет получить достаточно полное представление о характере и особенностях рассматриваемого периодического движения системы. [17]
Многие задачи механики связаны с малыми колебаниями системы частиц. Под малыми колебаниями мы понимаем периодические движения системы, возникающие при незначительном отклонении от состояния устойчивого равновесия. Цри таком движении ни одна координата не отклоняется сильно от того значения, которое она имеет при равновесном состоянии системы. В такого рода задачах удобно выбирать систему координат так, чтобы в положении равновесия все qt равнялись нулю; тогда значения qt во время движения будут оставаться малыми. [18]
В случае консервативных систем вся фазовая плотность заполнена замкнутыми траекториями, но ни одна из них не является изолированной, так как в любой ее окрестности существует другая замкнутая траектория. Замкнутым траекториям на фазовой плоскости соответствуют периодические движения системы. Если в любой, сколь угодно малой окрестности предельного цикла существует хотя бы одна фазовая траектория, не приближающаяся к предельному циклу при t - - - - oo, то предельный цикл называется неустойчивым. Устойчивым предельным циклам в системах автоматического регулирования соответствуют автоколебания. [19]
В случае консервативных систем вся фазовая плотность заполнена замкнутыми траекториями, но ни одна из них не является изолированной, так как в любой ее окрестности существует другая замкнутая траектория. Замкнутым траекториям на фазовой плоскости соответствуют периодические движения системы. Предельный цикл называется устойчивым, если существует такая е-окрестность этого цикла, что все фазовые траектории, начинающиеся в е-окрестности, асимптотически при / - - ( - оо приближаются к предельному циклу. Если в любой, сколь угодно малой окрестности предельного цикла существует хотя бы одна фазовая траектория, не приближающаяся к предельному циклу при t - - - оо, то предельный цикл называется неустойчивым. Устойчивым предельным циклам в системах автоматического регулирования соответствуют автоколебания. [20]
В случае консервативных систем вся фазовая плотность заполнена замкнутыми траекториями, но ни одна из них не является изолированной, так как в любой ее окрестности существует другая замкнутая траектория. Замкнутым траекториям на фазовой плоскости соответствуют периодические движения системы. Предельный цикл называется устойчивым, если существует такая е-окрестность этого цикла, что все фазовые траектории, начинающиеся в е-окрестности, асимптотически при t - - f - оо приближаются к предельному циклу. Если в любой, сколь угодно малой окрестности предельного цикла существует хотя бы одна фазовая траектория, не приближающаяся к предельному циклу при i - - - j - co, то предельный цикл называется неустойчивым. Устойчивым предельным циклам в системах автоматического регулирования соответствуют автоколебания. [21]
Метод гармонического баланса позволяет оценить устойчивость нелинейных систем, определить амплитуду и частоту автоколебаний, а также выбрать корректирующие цепи, обеспечивающие заданные характеристики нелинейных систем. Возможность применения этого метода к стационарным системам определяется близостью периодического движения системы к гармоническому. [22]
Уравнение ( 1) имеет тривиальное решение q 0, которое отвечает невозмущенному равновесию или невозмущенному периодическому движению системы. [23]
Однако в этой области, как и в качественной теории дифференциальных уравнений, между случаями п - 2 и п; 3 практически имеется серьезный барьер, преодолевая который обычно приходится многое терять. Основное затруднение состоит в том, что при п 3 для отыскания этих неподвижных точек, соответствующих периодическим движениям системы, нет регулярных аналитических способов. [24]
Книга Биркгофа Динамические системы подводит итоги исследованиям автора в области динамики, выполненным до 1927 года. Ниркгоф является основоположником новых точек зрения, новых методов исследования и автором целого ряда важных результатов, десь достаточно указать па его замечательное доказательство последней геометрической теоремы Пуанкаре о неподвижных [ очках при преобразовании плоского кольца, на применение им этой теоремы к теории периодических движений систем с двумя степенями свободы, на его теории центральных и рекуррентных движений. Все это в настоящее время входит в тот минимум знаний, которым должен обладать всякий желающий специализироваться в области качественной теории обыкновенных дифференциальных уравнений или в области теоретической механики. [25]
Аналогично все траектории снаружи предельного цикла также навиваются на него. По истечении достаточно длительного времени изображающая точка, не находящаяся в точке равновесия, приближается сколь угодно близко к предельному циклу. Устойчивому предельному циклу соответствует устойчивое периодическое движение системы. [26]
Это рассмотрение связано с одним из интересных и важных свойств автоколебательных систем - явлением принудительной синхронизации, которое иногда называется захватыванием. Это явление заключается в том, что при достаточно малой разности между частотой автоколебательной системы и частотой внешней силы устойчивое периодическое движение системы приобретает частоту внешней силы. [27]
Это рассмотрение связано с одним из интересных и важных свойств автоколебательных систем - явлением принудительной синхронизации, которое иногда называется захватыванием. Это явление заключается в том, что при достаточно малой разности между частотой автоколебательной системы и частотой внешней силы устойчивое периодическое движение системы приобретает частоту лнеишей силы. [28]
Замкнутой траектории на фазовой плоскости соответствует периодическое движение регулируемой системы. Действительно, если в какой-то момент времени t ta состояние системы определялось положением изображающей точки, обозначенной на рис. 235 буквой N, имеющей координаты у1 н a. Мы здесь рассматриваем линейную систему, амплитуда колебаний в которой зависит от начальных условий. Для того чтобы учесть все возможные периодические движения системы, следует ее фазовую плоскость плотно заполнить подобными эллипсами, вложенными друг в друга. Такая фазовая диаграмма вполноймерехарактеризует любые возможные периодические движения системы. [29]
Замкнутой траектории на фазовой плоскости соответствует периодическое движение регулируемой системы. Действительно, если в какой-то момент времени t ta состояние системы определялось положением изображающей точки, обозначенной на рис. 235 буквой N, имеющей координаты у1 н a. Мы здесь рассматриваем линейную систему, амплитуда колебаний в которой зависит от начальных условий. Для того чтобы учесть все возможные периодические движения системы, следует ее фазовую плоскость плотно заполнить подобными эллипсами, вложенными друг в друга. Такая фазовая диаграмма вполноймерехарактеризует любые возможные периодические движения системы. [30]