Cтраница 2
Квантовая диффузия приводит к замазыванию деталей стохастического движения с ростом времени t вплоть до полного подавления стохастичности. Он определяет нижнюю временную границу прекращения стохастического движения. [16]
Несмотря на это, предпринят ряд попыток связать стохастич-ность квантовых систем в классическом пределе со свойствами стационарного энергетического спектра в квазиклассическом приближении. В работах [601, 602] показано, что стохастическому движению классической системы можно сопоставить нерегулярность энергетического спектра квантовой системы. [17]
Статистическая модель, использующая методы статистической физики, исходит из внешнего сходства кипящего слоя твердых частиц с хаотическим движением молекул в газе или жидкости. Однако такое предположение будет справедливым только при условии стохастического движения частиц и относительно равномерного распределения их по объему, т.е. для однородной, достаточно разреженной ( порозность е 0 6) системы. Тогда распределение частиц по скоростям будет сходственно с максвелловским, и для математического описания системы можно использовать законы статистической физи-ки. Чтобы применить эту модель, нужно псевдоожиженный слой превратить в организованный, однородный. [18]
OJQ, то происходит перекрытие реэонансов. В этом случае, почти вся область внутри сепаратрисных петель становится областью стохастического движения. При v со0 модуляции частоты маятника в уравнении (3.45) становится адиабатической. [19]
В настоящее время известно большое количество реальных и модельных механических, физических, химических и биологических систем, в которых происходящие процессы имеют хаотический характер. Поскольку аналитическое исследование таких систем, как правило, невозможно, то вывод о наличии хаотических или стохастических движений делается на основе анализа результатов численных или натурных экспериментов. [20]
Обратим внимание на следующее важное обстоятельство. Если турбулентное движение уже установилось ( течение вышло на странный аттрактор), то такое движение диссипативной системы ( вязкой жидкости) в принципе не отличается от стохастического движения бездиссипативной системы с меньшей размерностью пространства состояний. Следовательно, если следить за эволюцией во времени принадлежащего аттрактору элемента объема ( в некотором пространстве, размерность которого определяется размерностью аттрактора), то этот объем в среднем будет сохраняться - его сжатие в одних направлениях будет в среднем компенсироваться растяжением за счет расходимости близких траекторий в других направлениях. [21]
Стохастичность в динамических системах, Межвузовский сб. Теория колебаний, прикладная математика и кибернетика, Горький, 1973; Синхронизация и стохастичность, сб. Фазовая синхронизация, Связь, 1975; Стохастические движения динамических систем, Межвузовский сб. Динамика систем, № 4, Горький, 1974; О возникновении стохастичности в динамических системах, Изв. [22]
Теории колебаний, качественной теории дифференциальных уравнений и теории динамических систем удалось полностью исследовать лишь двумерные системы, а стохастические автоколебания возможны только у систем размерности, не меньшей трех. Пуанкаре [243, 244] и асимптотические методы Н. М. Крылова - Н. Н. Боголюбова [92], применимые к системам любой размерности, не позволяли обнаружить стохастические движения, если их не было у порождающей системы, что связано с нестепенным порядком малости областей существования стохастических движений по малому параметру. [23]
В системах с диссипацией в процессе движения фазовый объем сокращается. В простейшем случае такая система эволюционирует к состоянию равновесия - соответствующая траектория в фазовом пространстве имеет вид устойчивого фокуса. При подпитке энергией извне диссипативная система может испытывать устойчивые колебания - это устойчивый цикл в фазовом пространстве ( в многомерном случае - тор), а может перейти в режим сложного стохастического движения, которое получило название странного аттрактора. Таким образом, все траектории диссипативной системы в фазовом пространстве соответствуют аттракторам - равновесию, периодическим колебаниям или странному аттрактору. Одним из аттракторов может быть разрушение системы. [24]
В системах с диссипацией фазовый объем сокращается в процессе движения. В простейшем случае такая система эволюционирует к состоянию равновесия - соответствующая траектория в фазовом пространстве имеет вид устойчивого фокуса. При подпитке энергией извне диссипативная система может испытывать устойчивые колебания - это устойчивый цикл в фазовом пространстве ( в многомерном случае - тор), а может перейти в режим сложного стохастического движения, которое получило название странного аттрактора. Таким образом, все траектории диссипативной системы в фазовом пространстве соответствуют аттракторам - равновесию, периодическим колебаниям или странному аттрактору. Одним из аттракторов может быть разрушение системы. [25]
Теории колебаний, качественной теории дифференциальных уравнений и теории динамических систем удалось полностью исследовать лишь двумерные системы, а стохастические автоколебания возможны только у систем размерности, не меньшей трех. Пуанкаре [243, 244] и асимптотические методы Н. М. Крылова - Н. Н. Боголюбова [92], применимые к системам любой размерности, не позволяли обнаружить стохастические движения, если их не было у порождающей системы, что связано с нестепенным порядком малости областей существования стохастических движений по малому параметру. [26]
Стохастичность в динамических системах / / Межвузовский сб. Горький, 1973; Синхронизация и стохастичность / / Сб. Связь, 1975; Стохастические движения динамических систем / / Межвузовский сб. Горький, 1974; О возникновении стохастичности в динамических системах / / И. [27]
Случайные последовательности, генерируемые цифровыми ЭВМ, принято называть квазислучайными. Так же нередко называют и стохастические движения динамических систем. С первым можно согласиться: ЭВМ выдает при повторениях одну и ту же последовательность, которая отражает определенные свойства случайной последовательности, но в полной мере ею не является. Обосновать столь же просто квазислучайность стохастических движений динамических систем не представляется возможным. [28]
Первая трудность, возникающая при попытке обобщения классических результатов теории хаотических и стохастических систем на квантовый случай, связана с различием традиционных математических форм классической и квантовой механики. Установление соответствия между квантовыми и классическими уравнениями на основе этого представления является затруднительным. Традиционным приемом в этом случае является рассмотрение квазиклассического приближения, которое связывает волновую функцию с квазиклассическими траекториями. В случае - же систем, в которых в классическом пределе возможны стохастические движения, простого соответствия между стационарными волновыми функциями и классическими траекториями не существует. [29]
Задачи с соударениями приводят непосредственно к разностным уравнениям или отображениям, которые при определенном выборе параметров часто обнаруживают хаотические колебания. Классическое отображение такого типа описывает движение частицы между двумя стенками. Если одна из стенок неподвижна, а другая колеблется ( рис. 3.3, с), то задача называется моделью Ферми ускорения космических лучей и описывает поведение заряженных частиц в движущихся магнитных полях. Эта модель очень подробно обсуждается Лихтенбергом и Либерманом [ НО ] в их доступно написанной монографии о стохастическом движении. Исследовано несколько систем разностных уравнений, описывающих эту модель. [30]