Непериодическое движение

Cтраница 3

Примером хаоса в автономной механической системе являются колебания ( флаттер), вызванные течением жидкости над упругой пластиной. В работах Кобаяши [93] и Фунга [39], опубликованных до этих полетов, были обнаружены непериодические движения. [31]

В большинстве физических линейных систем при данном воздействии на входе существует только один режим движения. Например, откликом линейной системы масса - пружина - демпфер на начальный импульс силы служит затухающее движение, в результате которого масса приходит в состояние покоя. У такой системы всего лишь один аттрактор, а именно точка равновесия. Однако у нелинейных систем может быть несколько положений равновесия или, как в случае некоторых самовозбуждающихся систем, может существовать несколько периодических или непериодических движений. [32]

Поведение последовательности х при различных значениях параметра X в отображении х Х ( 1 - х х. [33]

Фейгенбаум отметил общую черту различных процессов: по мере изменения внешнего параметра поведение системы меняется от простого к хаотическому, при этом поведение системы упорядоченно и периодично. Упорядоченность заключается в том, что в каждый период времени Т поведение системы самовоспроизводится. Процесс удвоения продолжается до тех пор, пока поведение системы перестает быть периодическим. Важным в решении Фейгенбаума явилось установление ранее неизвестной закономерности перехода системы от простого, периодического, к сложному, непериодическому, движению, связанной с тем, что в пределе хаотического непериодического движения имеется универсальное решение, общее для всех систем, испытывающих удвоение периода. [34]

Такие дифференциальные уравнения описывают, например, движение дисбалансного ротора или маятника на колеблющемся основании, движение заряженной частицы в поле синусоидальной волны и многое другое. В системе, описываемой уравнениями (4.1), возможны как явления синхронизации, так и хаотизации движений. При M - h - 0 система (4.1) представляет собой неавтономную гамильтонову систему, которая нри замене зшф на ф превращается в широко известное уравнение Матье, описывающее явления линейного параметрического возбуждения и резонанса. При v 0 уравнения (4.1) имеют прямое отношение к задачам синхронизации вибраторов, находящихся на общем основании, и исследовались в 1967 г. в работе [60], где были обнаружены как различные типы синхронизмов, так и непериодические движения, устойчивые по Пуассону, а по современной классификации - хаотические движения. [35]

Эту плоскость называют фазовой плоскостью, кривую z ( x v) const - фазовой траекторией. На нижней части рис. 1 изображено несколько фазовых траекторий. Так как положению равновесия отвечает минимум потенциальной энергии, кинетическая энергия, а вместе с ней и скорость максимальны при прохождении точки равновесия. Поэтому точка, изображающая движение механической системы, проходит фазовую траекторию по часовой стрелке. Из рис. 1 видно, что колебаниям соответствуют замкнутые фазовые траектории, охватывающие точку равновесия О. Непериодическому движению отвечают незамкнутые траектории. Отметим, что сепа-ратрисса имеет характерную точку самопересечения, которая соответствует приходу системы в точку максимума на графике потенциальной энергии с нулевой скоростью. [36]

Страницы: 1 2 3