Cтраница 2
Если коэффициент вращения % вдоль соответствующей инвариантной кривой па поверхности S несоизмерим с 2тг, то поверхность тора может представлять собой одно минимальное множество рекуррентных движений. [16]
Специальные центральные, движения всюду плотны на любой связной части совокупности центральных движений, за исключением того случая, когда эти связная часть состоит из единственного минимального множества рекуррентных движений. [17]
Общая теория, изложенная в главе VII, показывает, что всякое движение имеет в связном замкнутом множестве своих а - ( и) - предельных движений некоторое множество рекуррентных движений. [18]
Или, и любой, oitpecinnoci пи, рекуррентном Жшженпп имеются, другие рекуррентные движения, или же имеются центральные движения, положительно ( отрицательно) полуасимптотические к этому рекуррентному движению. [19]
Установленная нами выше связь между рекуррентными функциями и хаотичностью, понимаемой в вероятностном смысле, указывает на то, что и хаотические движения в динамике описываются рекуррентными функциями. Биркгоф открыл, что рекуррентные движения являются наиболее общим видом колебаний и характерны для того наиболее распространенного случая, когда минимальное множество не состоит из единственной замкнутой кривой или положения равновесия. [20]
Теория динамических систем, намеченная Пуанкаре, получила дальнейшее широкое развитие в работах Биркгофа. Можно сказать, что Биркгоф положил основание общей теории динамических систем, выделив в них особенн о интересные классы движений - центральные и рекуррентные движения. [21]
Книга Биркгофа Динамические системы подводит итоги исследованиям автора в области динамики, выполненным до 1927 года. Ниркгоф является основоположником новых точек зрения, новых методов исследования и автором целого ряда важных результатов, десь достаточно указать па его замечательное доказательство последней геометрической теоремы Пуанкаре о неподвижных [ очках при преобразовании плоского кольца, на применение им этой теоремы к теории периодических движений систем с двумя степенями свободы, на его теории центральных и рекуррентных движений. Все это в настоящее время входит в тот минимум знаний, которым должен обладать всякий желающий специализироваться в области качественной теории обыкновенных дифференциальных уравнений или в области теоретической механики. [22]
Такие рекуррентные движения почти наверное образуют бесконечную иерархии) все более и более сложных типов, даже для динамических систем с двумя степенями свободы, которые мы в настоящий момент рассматриваем. [23]
Ксли это предположение правильно, то всякое движение такой га-мильтоповой системы всегда совершается вблизи периодических движений. Я предполагаю, что рекуррентные движения всюду плотны. [24]
Значительно позже, в работе 1912 г., Дж. В частности, он показал, что среди геодезических или траекторий третьей категории всегда существует по крайней мере одна траектория, которая соответствует так называемому рекуррентному движению. [25]
Второе обобщение периодических движений возникает так. Пика-кос периодическое движение не приближается и другому движению. Мы можем называть рекуррентными те движения, пути которых плотны в минимальном замкнутом множество других движений, но содержащем никаких подмножеств того же рода. Существование таких рекуррентных движений и их квазипериодические свойства легко доказать. [26]
Теорема 6.8.2 имеет место, если механическая система допускает инвариантное множество М в пространстве гамиль-тоновыхпеременных. Если рассматривать - как малую окрестность начальной точки л 0, то, следуя Пуанкаре, теорему 6.8.2 можно интерпретировать следующим образом: с вероятностью, равной единице, произвольное движение бесконечно часто возвращается к своему начальному состоянию. Чаще это состояние называют рекуррентным движением. Этому вопросу посвящена работа Бирк-гофа [25], в которой указана обширная библиография. Надо отметить, что у Биркгофа каждое из этих понятий играет самостоятельную роль. [27]