Cтраница 3
Иррациональные числа выражаются бесконечными непериодическими десятичными дробями. Иррациональных чисел бесконечно много. Например, сумма S У 2 г есть число иррациональное при любом рациональном значении г. В самом деле, если допустить, что при некотором рациональном значении г число S будет рациональным, то при этом допущении разность между рациональными числами S и г окажется числом иррациональным, что невозможно, так как действие вычитания выполнимо во множестве рациональных чисел. [31]
В предыдущем параграфе мы убедились, что для измерения отрезков рациональных чисел не хватает. Напомним еще раз, что рациональные числа - это числа, представимые в виде бесконечных периодических десятичных дробей. А длины некоторых отрезков выражаются бесконечными непериодическими десятичными дробями. Таким образом, задача измерения отрезков приводит нас к необходимости расширить множество рациональных чисел путем присоединения к нему положительных бесконечных непериодических десятичных дробей. Потребности алгебры ( например, выполнимость действия вычитания) указывают на то, что наряду с положительными целесообразно сразу же ввести в рассмотрение и отрицательные бесконечные непериодические десятичные дроби. Поэтому в дальнейшем, говоря о бесконечных непериодических дробях, мы будем иметь в виду как положительные, так и отрицательные дроби. [32]
То расширение числового множества, которое нами сейчас предпринято, является, как известно, далеко не первым в истории развития понятия числа. Все мы, обучаясь арифметике, знакомимся сначала с натуральными числами, потом присоединяем к ним число нуль, отрицательные числа и дробные числа. Таким образом, в результате ряда последовательных расширений создается множество рациональных чисел. Наш принцип порождения присоединяет к нему сразу все иррациональные числа и тем самым расширяет его до множества всех вещественных чисел - до континуума. Хорошо известно, что все прежние расширения в значительной степени стимулировались желанием сделать неограниченно выполнимым какое-либо действие, которое в старой области не всегда могло быть выполнено. Так, введение нуля и отрицательных целых чисел позволило сделать неограниченно выполнимым действие вычитания; введение дробей сделало то же самое по отношению к делению ( за исключением деления на нуль, которое, кстати сказать, и в нашей новой области вещественных чисел остается невозможным); первые попытки введения иррациональных чисел были продиктованы стремлением сделать всегда выполнимым извлечение корней. Эта тенденция - добиваться возможно широкой выполнимости таких действий, которые в данной числовой области оказываются не всегда выполнимыми - обусловлена в математике, разумеется, не абстрактным влечением к формальной законченности ( как это иногда думают), а настоятельными запросами практики; лучше всего нас убеждают в этом примеры, подобные приведенным в начале этой главы: именно практическая деятельность наша не может удовлетвориться таким запасом чисел, где длина диагонали квадрата со стороной 1 или площадь круга радиуса 1 не находят себе числового выражения. [33]