Cтраница 1
Коприсоединенное действие и скобка Ли - Пуассона связаны следующим фундаментальным утверждением. [1]
Соответствующее коприсоединенное действие имеет вид ( ср. [2]
Орбиты коприсоединенного действия четномерны. [3]
Орбиты коприсоединенного действия группы Ли в двойственном пространстве ее алгебры Ли являются симплектическими многообразиями относительно канонической симплектической структуры Костанта - Кириллова. [4]
Каждая орбита коприсоединенного действия группы Ли обладает симплектической структурой. [5]
Таким образом, коприсоединенное действие К сохраняет гиперплоскости а const и на каждой такой гиперплоскости задает аффинное действие, линейная часть которого есть обычное коприсоединенное действие. [6]
Действительно, рассмотрим коприсоединенное действие группы SUn i специальных унитарных матриц. Оно изоморфно присоединенному действию в алгебре Ли косоэрмитовых матриц со следом нуль. Пространство таких матриц умножением на / - - Т отождествляется с пространством эрмитовых ( п 1) х ( п - - 1) - матриц со следом нуль, и мы можем считать, что в последнем пространстве задано действие группы SUn i, орбиты которого - компактные симплектические многообразия. SUn i действует пуассоновским образом на каждой такой орбите. [7]
Всюду в дальнейшем под орбитой подразумевается орбита коприсоединенного действия. Предполагается, что читатель имеет некоторое представление о гамильтоновой механике на орбитах. [8]
G g находятся в инволюции при любых А, ц G M на каждой орбите коприсоединенного действия. [9]
Таким образом, коприсоединенное действие К сохраняет гиперплоскости а const и на каждой такой гиперплоскости задает аффинное действие, линейная часть которого есть обычное коприсоединенное действие. [10]
Линейная пуассонова структура в векторном пространстве - это в точности структура алгебры Ли в сопряженном пространстве; симплектические слои линейной структуры - орбиты коприсоединенного действия этой алгебры Ли, функции Казимира - инварианты этого действия. [11]
Алгебра Ot по-прежнему не имеет характеров, но сужения полиномов to, cp ( L) на - 6 - уже нетривиальны. Коприсоединенное действие - в & сох няет фильтрацию, и подпространство символов с фиксированным староиш членом распадается в конечнопарамет-рическое семейство орбит. [12]
Заметим, что центральные элементы g переходят в нулевое векторное поле. Поэтому, вообще говоря, коприсоединенное действие не является эффективным. [13]
В частности, размерность каждой орбиты коприсоединенного представления четна. Ясно также, что симплектическая форма инвариантна относительно коприсоединенного действия группы на орбите. Как мы уже знаем, теперь мы можем определить на каждой орбите скобку Пуассона. [14]
На первом шаге следует придать первым интегралам, доставляемым гамильтоновои группой симметрии, более естественную структуру. Здесь и появляется алгебра, двойственная к алгебре Ли симметрии, и, следовательно, коприсоединенное действие. [15]