Использование - неявная схема
Cтраница 2
Получим систему в нормальной форме, которую можно проверить на устойчивость по Ляпунову. Хотя точные решения системы ( 28) неизвестны, при численных экспериментах с использованием неявной схемы Эйлера разностные аппроксимации очень быстро стягиваются к нулю. [16]
Уравнения ( 31) аппроксимируют исходную систему с погрешностью 0 ( т А), где fe max ( / Jx, hr Использование неявной схемы по времени приводит к разностной системе с нелинейной правой частью, что требует применения итерационного процесса. Трехточечная система алгебраических уравнений решается методом прогонки. Сходимость подтверждена расчетами на последовательности измельчающихся сеток. [17]
 |
К выводу УСЛОВИЯ устойчивости явной разностной схемы Представим уравнение в несколько иной форме. [18] |
Следует в то же время иметь в виду, что чрезмерное увеличение шага Дт приводит к существенному возрастанию погрешностей аппроксимации, поэтому фактором, ограничивающим размеры шага Дт при использовании неявных схем, является требуемая точность вычислений. [19]
Между явной ( 3), ( 5) и неявной ( 4), ( 5) схемами имеется, таким образом, принципиальное отличие. Явной схеме соответствуют явные формулы для вычисления функции на слое по известным значениям на предыдущих слоях. Однако эта схема является условно устойчивой. Это приводит к тому, что при малом шаге h мы вынуждены выбирать слишком мелкий шаг по времени ( т Sj / г2 / 2), чтобы обеспечить устойчивость. Это, в свою очередь, приводит к значительному увеличению затрат времени счета на ЭВМ и не может быть оправдано требованиями точности, если по временной переменной t решение достаточно гладкое. С другой стороны, при использовании неявной схемы можно значительно увеличить шаг по времени т, однако при переходе от слоя к слою требуется каждый раз решать систему уравнений. Впрочем, в одномерном случае это не представляет проблемы. Это позволяет сделать вывод о том, что использование неявных схем в одномерном случае часто является более предпочтительным, так как ведет к уменьшению затрат времени счета на ЭВМ. [20]
Поскольку методы решения уравнений теплообмена (1.36), (1.37) и системы из уравнений движения (1.38) и неразрывности (1.39) различны, решение задачи разбивалось на два последовательных этапа: решение уравнений теплообмена - тепловая часть задачи, совместное решение уравнений движения и неразрывности - газодинамическая часть задачи. Из-за чрезмерной затраты машинного времени решение такой задачи неприемлемо. Примененный при решении тепловой части задачи метод переменных направлений с использованием неявной схемы, обладающей устойчивостью при широкой вариации пространственно-временных шагов, не требует строгого ограничения на выбор шага по времени. [21]
Существует мнение, что чем выше порядок схемы, тем ближе будет численное решение к точному решению поставленной задачи, и исследователь часто стремится использовать схемы высокого порядка точности, несмотря на то что повышение порядка точности связано с дополнительными трудностями. Так, некоторые авторы [15] называют схемы третьего порядка точности в некотором смысле оптимальными. Это верно далеко не для всех задач. Например, для решения задач с граничным контуром, а также с параметризацией подсеточных эффектов желательно использовать достаточно маленький пространственный шаг, так как описание подсеточных эффектов и обтекание препятствий будет тем лучше, чем меньше пространственный шаг. Переход к меньшему шагу по пространству приводит к резкому увеличению числа узлов сетки. При использовании явных схем третьего порядка точности факт наличия большого числа узлов в области приводит к огромным затратам машинного времени. Использование неявных схем дает небольшой выигрыш, так как эффективный метод прогонки здесь не применим из-за наличия в шаблоне схемы четырех-пяти узлов по каждому направлению. Кроме того, при решении дифференциальных уравнений в частных производных для задач гидродинамики трудно добиться фактического получения равномерно высокого порядка точности, поскольку последний будет ограничен ошибками аппроксимации граничных условий. [22]
Для узлов нулевого ряда / 0 из начального условия следует и ( г, 0) и0 ( г) - Замена дифференциального уравнения разностным дает связь значений функции и в нашем случае в четырех или пяти узлах. Например, для схемы, приведенной на рис. 1.12, а, если известны значения и во всех точках / - го горизонтального ряда ( из начального условия или из расчетов на предыдущих шагах), то значения в узлах / 1 ряда вычисляются явным образом из конечно-разностной аппроксимации уравнения. То же относится к схеме на рис. 1.12, в. Для схемы на рис. 1.12, б уравнение (1.82) связывает не одну точку ряда j 1, а три. Такая схема называется неявной. При использовании неявных схем нужно решать систему уравнений. [23]
Между явной ( 3), ( 5) и неявной ( 4), ( 5) схемами имеется, таким образом, принципиальное отличие. Явной схеме соответствуют явные формулы для вычисления функции на слое по известным значениям на предыдущих слоях. Однако эта схема является условно устойчивой. Это приводит к тому, что при малом шаге h мы вынуждены выбирать слишком мелкий шаг по времени ( т Sj / г2 / 2), чтобы обеспечить устойчивость. Это, в свою очередь, приводит к значительному увеличению затрат времени счета на ЭВМ и не может быть оправдано требованиями точности, если по временной переменной t решение достаточно гладкое. С другой стороны, при использовании неявной схемы можно значительно увеличить шаг по времени т, однако при переходе от слоя к слою требуется каждый раз решать систему уравнений. Впрочем, в одномерном случае это не представляет проблемы. Это позволяет сделать вывод о том, что использование неявных схем в одномерном случае часто является более предпочтительным, так как ведет к уменьшению затрат времени счета на ЭВМ. [24]
Страницы: 1 2