Cтраница 2
В математическом плане характерной особенностью задач контактного взаимодействия ( контактных задач) является то, что они сводятся к исследованию краевых задач для систем дифференциальных уравнений механики сплошной среды со смешанными граничными условиями. При этом для контактных задач характерно то, что, если рассматриваемая область, занятая какой-либо сплошной средой, ограничена конечным числом гладких поверхностей ( граней), то хотя бы на одной из этих граней на различных ее участках должны быть сформулированы различные граничные условия. А те задачи, когда ни на одной из граней области условия не являются смешанными, но различны на разных гранях, называют несобственно смешанными. [16]
В теории уравнения Эмдена-Фаулера наиболее интересен вопрос о поведении решений при р - 0 а р - оо он важен, в частности, для исследования краевых задач. Для системы (6.6.4) нужно соответственно выяснить свойства решений при т - оо. В случае т - - оо они очевидны. В случае же т - оо интегральные кривые уходят в бесконечность, нелинейный член в (6.6.4) убывает и поведение решений определяется в основном линейной частью. [17]
Сравнительно позже был создан параметрикса метод, на основе к-рого построен потенциалов метод. Этот метод позволяет привлекать к исследованию краевых задач для эллиптич. Далеко идущим развитием метода параметрикса являются методы теории функций комплексного переменного, успешно применяющиеся при исследовании эллиптич. [18]
Такие операторы оказываются полезными при исследовании краевых задач для эллиптических дифференциальных уравнений. [19]
Точное определение обобщенного решения опирается на понятие обобщенной производной и вообще обобщенной функции. Аппарат теории обобщенных функций служит удобным средством для исследования краевых задач математической физики в обобщенной ( и классической) постановке. Поэтому специальная глава в этой книге посвящена изложению теории обобщенных функций. [20]
Это позволяет применить к исследованию уравнения (7.39) ( то есть к исследованию краевой задачи (7.37) - (7.38)) общие принципы. [21]
В этом параграфе ( см. также [22]) построено фундаментальное решение уравнений изгиба многослойной пластинки симметричной структуры - тензора, составленного из решений, отвечающих сосредоточенным силам, направленным вдоль соответствующих координатных осей. Такие решения играют важную роль в теории дифференциальных уравнений, предоставляя эффективный инструмент исследования краевых задач с помощью интегральных уравнений. [22]
В различных приложениях, описанных в предыдущих параграфах и посвященных пластичным средам, мы рассматривали в качестве простейших случаев, поддающихся изучению, только состояния однородной конечной деформации и ставили вопрос о том, в каком из конкурирующих состояний потребляется наименьшая работа. Полагают, что принцип минимальной работы пластического деформирования может иметь большое значение в области неоднородных состояний конечной деформации для определения конкретных последовательностей неоднородного деформирования тела, завершающихся напряженными и деформированными состояниями, для которых заданы либо окончательная деформация, либо результирующие силы - проблема, которая из-за связанных с ней математических трудностей лишь слабо затронута исследованиями краевых задач этого типа. [23]
Свойства решений эллиптических уравнений, осно - ВЯИные на принципе максимума. Многие построения при исследовании эллиптических краевых задач опираются на так называемый Принцип максимума, который состоит в том, что решение рассматриваемой задачи не может иметь внутри области Ми положительных максимумов, ни отрицательных минимумов. [24]
Эти априорные оценки сами по себе имеют самостоятельное значение. Оценок в гельдеровских или других классах для потенциалов, соответствующих параболическим уравнениям с вырождающимся оператором, имеется немного. Отметим оценки, полученные в работе [10] для объемного потенциала, которые там же используются при исследовании краевых задач для нелинейных уравнений. В § 5 даются формулы суперпозиции абелевых операторов, при помощи которых задача сводится к разрешимости сингулярного уравнения. В § 6 исследуется одна нелокальная задача для уравнения параболического типа. [25]
Как известно, принадлежность функции Соболевскому пространству при т 2 не гарантирует ее непрерывности. Пространства На при достаточно малом отрицательном а ( - m а 2 - т), как показал Кордес ( 1 ], будут вкладываться в С. Это свойство пространств На, как и соответствующих пространств, введенных Морри [1], делает их удобными при исследовании краевых задач для квазилинейных эллиптических систем. [26]
Следует добавить, что дифференциальные уравнения, описывающие процессы изгиба и выпучивания длинной прямоугольной пластинки по цилиндрической поверхности, образующая которой параллельна длинной стороне пластинки, лишь значениями некоторых коэффициентов ( см. ниже) отличаются от соответствующих уравнений изгиба и устойчивости слоистых балок и стержней. Точно также уравнения, описывающие процессы изгиба и выпучивания длинной панели по цилиндрической поверхности, аналогичны соответствующим уравнениям изгиба и устойчивости арки. Так возникают пары близких между собой систем дифференциальных уравнений, характеризующих механическое поведение существенно различных элементов конструкций. Ясно, что методы исследования краевых задач для этих близких систем уравнений одинаковы, а результаты, полученные при решении одной из них, сохраняют свое значение и для другой. Поэтому сформулированные ниже выводы о характере и степени влияния поперечных сдвигов, обжатия нормали, вида краевых условий на характеристики напряженно-деформированного состояния и критические параметры устойчивости слоистых длинных пластин и панелей остаются справедливыми для балок, стержней и арок. [27]