Алгебраическое исследование

Cтраница 2

Круговая область асимптотической устойчивости проточного реактора с перемешиванием ( пример V-2.| Эллиптическая область асимптотической устойчивости проточного реактора с перемешиванием ( пример V-3. [16]

Так как начало координат обычно является изолированным решением уравнения v О, то при поверхностном алгебраическом исследовании может показаться, что кривая v 0 проходит через начало координат даже тогда, когда на самом деле этого нет. Применяя такое неверное рассуждение, можно преждевременно отвергнуть вполне удовлетворительные у-функции, приведенные в последнем примере. [17]

Сейчас бесспорно, что вовсе не изучение уравнений является центральной задачей алгебры. Истинным объектом алгебраического исследования следует считать алгебраические операции, подобные сложению или умножению чисел, но производимые, возможно, не над числами. [18]

Современная алгебра, берущая свое начало в замечательных работах Гильберта конца прошлого века, сложилась в общих чертах в 20 - е годы. Итогом этого периода становления явилось первое издание настоящей книги, вышедшее в 1931 году. Хотя с тех пор передний край алгебраических исследований продвинулся далеко, книга и сейчас выглядит свежо и современно, - правда, уже не как свод новейших результатов и понятий, а как отличный учебник основ алгебры. Эволюция книги от издания к изданию хорошо отражена в предисловиях автора. [19]

Вопрос о том, чем они характеризуются, был решен Эваристом Галуа1, основоположником теоретико-группового метода исследования уравнений. Предметом алгебраических исследований становятся алгебраические операции над элементами множества произвольной природы, широко обобщающие понятия арифметических действий сложения и умножения над числами. Параллельно с теорией групп развивается теория полей и теория колец. [20]

А л г ебра в России в предреволюционные годы. Обзор развития алгебры в СССР, написанный Н. Г. Чеботаревым и опубликованный в сборнике Математика в СССР за 15 лет, начинается замечанием, что в нашей стране... Действительно, в России до Октябрьской революции не было устойчивых алгебраических школ. Тем не менее в конце прошлого и начале нынешнего столетий в нашей стране был выполнен ряд первоклассных алгебраических исследований, оставивших большой след в истории математики. [22]

Два полюса в знаменателе не могут выражаться сопряженными комплексными числами. Это показывает, что для сомножителей числителя уравнения ( IV22) будет иметь место последовательность наклонов соответственно 0 и 20 дб / дек. Комбинируя их, можно получить различные комбинации отрицательных и положительных углов наклона. Однако алгебраическое исследование передаточной функции показывает, что при уменьшении проводимости Ож, и знаменатель может быть заменен полным квадратом. Когда величина Ож, м приближается к нулю, проводимость между жидкостью и металлом отсутствует. [23]

Ибо континуум, столь доступный наглядному представлению, упорно сопротивляется проникновению логики. Именно поэтому Вейерштрасс и другие авторы встали на более тяжелый, но, по их мнению, и более надежный путь прямой алгебраической конструкции. Сегодня мы должны сказать, что Вейерштрасс остановился на полпути. Функции он строит алгебраически, а их коэффициенты черпает из не поддающегося алгебраическому исследованию континуума обычных комплексных чисел. При последовательном же алгебраическом подходе вместо этого континуума подставляется любое числовое поле в смысле абстрактной алгебры. В самом деле, когда Гильберт прокладывал новые пути в теории числовых полей, он руководствовался аналогией, имеющейся между ней и положением вещей в области алгебраических функций, которое с помощью своих методов раскрыл Риман. В направлении, которое проложил Вейерштрассс, господствующей выступает общая теория, частным случаем которой надлежит считать алгебраические функции с произвольными комплексными коэффициентами, - теория абстрактных числовых полей и их алгебраических расширений. Благо даря общности исходных предположений и аксиоматизации мы и здесь вынуждены покинуть путь вычислений, производимых вслепую, и разлагать сложные факты на простые компоненты, к каждому из которых удается подобрать простую ключевую идею. [24]

С 30 - х годов в алгебре все большее значение начинают приобретать - структуры, связанные. В результате возникла обширная новая область математики - общая теория алгебраических систем, или теория моделей, пограничная между алгеброй и логикой и обладающая глубокими связями с самыми разнообразными математическими дисциплинами. Нам кажется, что расцвет общей теории алгебраических систем и ее многочисленных подразделений ( строение формальных теорий, структура аксиоматизируемых классов, итеративные системы и классы автоматов) является в какой-то мере характерной чертой развития алгебры второй половины XX века. Столь же характерной чертой современной алгебры можно считать исключительный размах исследований по алгебраической геометрии, ныне обычно выделяемой из алгебры в особую науку, а также по теории категорий и гомологической алгебре и по теории таких классических объектов, как группы, кольца и решетки. С конца прошлого века алгебраические исследования, проводимые в нашей стране, начинают составлять существенную часть общего потока мировых алгебраических исследований. Более заметной эта часть стала в 30 - е годы и в особенности в послевоенные годы - годы подлинного расцвета советской науки и культуры. Ниже мы попытаемся более подробно проследить процесс возникновения и развития основных советских алгебраических школ в первую четверть века существования Советского государства, а также кратко отметить некоторые из наиболее существенных открытий в области алгебры, сделанных в этот период. [25]

Тем не менее весьма интенсивная работа в области алгебры и ее приложений продолжалась и во время войны, но особенно быстрыми темпами советская алгебра стала развиваться в последние десять лет, когда в науку пришло новое поколение исследователей. В настоящее время у нас плодотворно работает ряд больших алгебраических школ, самые крупные из которых находятся в Москве, Новосибирске, Ленинграде, Киеве, Минске, Свердловске, Кишиневе. Общее число докторов математики, занимающихся алгебраическими исследованиями, достигло у нас четырех-пяти десятков, вместе с которыми работают еще около 300 кандидатов наук; около трети мз них сосредоточено в Москве. Учитывая, что в последние десятилетия алгебраические исследования тесно переплелись с исследованиями по математической логике и теории автоматов, важность которых очевидна, представляется несомненным, что в ближайшие годы и среди советских математических исследований алгебраические работы будут занимать видное место. [26]

Страницы: 1 2