Cтраница 1
Истинность аксиомы явствует из повседневного опыта, поскольку тела, чем они тяжелее, тем большее оказывают сопротивление не только по направлению вверх, но также в стороны и вниз. [1]
Истинность аксиом принимается без доказательства; все остальные утверждения ( теоремы) с помощью логических рассуждений выводятся из аксиом. Понятия, участвующие в утверждениях, также разделяются на два типа - основные ( исходные) понятия, принимающиеся без определений, и производные понятия, которые должны быть определены через исходные. [2]
В самом деле, истинность аксиомы для функционального символа / ( приведенной выше в качестве примера) гарантирует, что класс [ / ( аг т /) ] зависит лишь от классов [ х ] и [ у ], но не от выбора х и у внутри класса. [3]
Но это не влияет на истинность аксиомы. [4]
Вся практическая многовековая деятельность человека подтверждает истинность принятых аксиом и всей построенной на них геометрии. Аксиоматический метод, впервые полностью разработанный Гильбертом на примере геометрии, проник в XX в. Со списка неопределяемых, основных понятий ( объектов, отношений) и аксиом, косвенно их определяющих, начинается строго научное аксиоматическое построение каждой теории современной математики. Такой список составляет основание, фундамент, на котором чисто логически строится теория. Аксиоматический метод лежит, в частности, в основе учения о расширении понятия числа, в основе теорий групп, колец и полей. [5]
Пусть, например, нужно доказать истинность аксиомы индукции. [6]
С помощью алгоритма Квайна и алгоритма редукции доказать тождественную истинность аксиом ИВ. [7]
Аксиомы возникли из опыта, и опыт же проверяет истинность аксиом в их совокупности. Проверка состоит в том, что все теоремы геометрии оказываются согласными с опытом; этого не случилось бы, если бы система аксиом была ложной. [8]
Упомянутые исследования геометрии интересны сами по себе, но особенно они важны тем, что сокрушили веру в истинность аксиом и заставили задуматься над тем, что же является фундаментом математики. Декарт открыл метод координат, стали думать, что таким фундаментом может служить арифметика. [9]
Если помнить, что а - - Ь означает, что некоторое свойство индивида а подвержено изменению тогда и только тогда, когда изменяется свойство индивида Ь, то, как мне кажется, истинность аксиом ( - И) и ( - - 2) интуитивно очевидна. Оба они относятся к миру детских кубиков. [10]
Аксиомы - утверждения, доказательство истинности которых не требуется. Логический вывод позволяет переносить истинность аксиом на выводимые из них следствия. [11]
Аксиомы - это утверждения, доказательства истинности которых не требуется. Логический вывод позволяет переносить истинность аксиом на выводимые из них следствия. Следование определенным, четко зафиксированным правилам вывода позволяет упорядочить процесс рассуждения при развертывании аксиоматической системы, сделать это рассуждение более строгим и корректным. [12]
В таком случае формула 21 г не может быть логически выведена из остальных аксиом. Если бы она была выводима из остальных аксиом, то этот вывод был бы справедлив и для любой интерпретации; для любой области с любыми предикатами из истинности аксиом 21 ь Я - ь 21 и-ь, Я я вытекала бы и истинность аксиомы 21 г - Но по предположению существует интерпретация, в которой аксиомы ( 2) истинны, а аксиома § Ь нет. Отсюда мы можем заключить, что если какая-либо аксиома независима от остальных в первом смысле, то она должна быть независима и во втором смысле. [13]
В таком случае формула 21 г не может быть логически выведена из остальных аксиом. Если бы она была выводима из остальных аксиом, то этот вывод был бы справедлив и для любой интерпретации; для любой области с любыми предикатами из истинности аксиом 21 ь Я - ь 21 и-ь, Я я вытекала бы и истинность аксиомы 21 г - Но по предположению существует интерпретация, в которой аксиомы ( 2) истинны, а аксиома § Ь нет. Отсюда мы можем заключить, что если какая-либо аксиома независима от остальных в первом смысле, то она должна быть независима и во втором смысле. [14]
Все они ( явно или неявно) принимают такую форму: если данные аксиомы выполняются, то выполняется что-то еще. Истинность аксиом не обсуждается. Тот факт, что Римская империя распалась, не имеет отношения и дискуссии о том, что могло бы произойти, если бы она не распалась. Обсуждению подлежит лишь правильность вывода. [15]