Cтраница 2
Геометрия исходит из определенных основных понятий, как плоскость, точка, прямая, с которыми мы в состоянии связать более или менее отчетливые представления, и некоторых простых предложений ( аксиом), которые мы, на основе этих представлений, склонны принять, как истинные. Предложение тогда является правильным, или истинным, когда оно выведено из аксиом по определенному, признанному методу. Вопрос об истинности отдельных геометрических предложений приводит таким образом к вопросу об истинности аксиом. Однако, давно уже известно, что на последний вопрос не только не может быть дан ответ методами геометрии, но что и вообще он сам по себе лишен смысла. Нельзя спросить, верно ли, что через две точки можно провести только одну прямую. [16]
Дедукция происходит в соответствии с принципами формальной логики, в частности, следует схеме силлогистического вывода. Для математика безразличен смысл слов, выражающих основные понятия; любая их подходящая интерпретация, т.е. такая, при которой аксиомы становятся истинами, одинаково пригодна, и все суждения аксиоматизируемой дисциплины при такой интерпретации сохраняют свою силу, поскольку все они являются логическими следствиями из аксиом. Так, и-мерная евклидова геометрия допускает еще одну интерпретацию, в которой точкам соответствуют распределения электрических токов в цепи из ветвей, соединенных в определенных узлах. Например, найти распределение токов, возникающее при заданных электродвижущих силах, приложенных к тем или иным ветвям цепи, означает решить геометрическую задачу о построении ортогональной проекции точки на некоторое линейное подпространство. В этом смысле математика рассматривает отношения в гипотетически-дедуктивном плане, не связывая себя никакой конкретной материальной интерпретацией. Ее интересует не истинность аксиом, а лишь их непротиворечивость; в самом деле, противоречивость a priori лишала бы нас надежды когда-нибудь найти подходящую интерпретацию. Мне кажется, что оно содержит весьма скудную информацию относительно подлинной природы математики, и сейчас вы присутствуете при попытке охарактеризовать ее более полно. Специалисты по философии математики в прошлом неоднократно обсуждали аксиоматический метод, поэтому я не считаю необходимым излагать его более подробно, хотя и сознаю, что от этого мое изложение становится несколько односторонним. [17]
Греки считали геометрию дедуктивной наукой, которая имеет дело с чисто логическими выводами из небольшого числа однажды установленных аксиом. Правда, список Евклида был далеко не полным, у Гильберта же он полон, и в его рассуждениях нет логических пробелов. Все, что нам нужно знать об этих основных понятиях, содержится в аксиомах. Эти аксиомы служат, так сказать, неявными ( и, разумеется, неполными) их определениями. Евклид считал, что аксиомы должны быть очивидными; предметом его рассмотрения было реальное пространство физического мира. Но в дедуктивной системе геометрии очевидность и даже истинность аксиом несущественны: последние выступают скорее в качестве предположений, из которых извлекаются логические следствия. В самом деле, существует много различных материальных интерпретаций основных понятий, для которых эти аксиомы становятся истинными. Например, аксиомы - мерной евклидовой векторной геометрии выполняются, если считать вектором распределение постоянных токов в данной электрической цепи, которая состоит из п проводников, соединенных в некоторых точках разветвления, а в качестве квадрата длины вектора принять джоулево тепло, выделяемое током за единицу времени. При построении геометрии на аксиоматической основе стремятся к возможно большей экономики и тем самым проясняют роль отдельных групп аксиом. Расположенные в их естественной иерархии, это будут аксиомы инцидентности, порядка, конгруэнтности, параллельности и непрерывности. Например, если окажется, что учение о геометрических пропорциях или теорию площадей многоугольников можно построить, не обращаясь к аксиомам непрерывности, го так и следует поступить. [18]