Cтраница 3
Для любых двух слов ( формул) R и S в логическом исчислении узнать, существует дедуктивная цепочка, ведущая от R к S, или нет. [31]
Это определение применимо не только к исчислению предикатов, но и к любому другому логическому исчислению, в частности к исчислению высказываний. Поскольку в исчислении высказываний присоединение любой невыводимой формулы к числу аксиом делает выводимыми все формулы, то любые две невыводимые формулы исчисления высказываний оказываются дедуктивно эквивалентными. Ясно также, что любые выводимые формулы ( в любом исчислении) являются дедуктивно эквивалентными. В то же время дедуктивная эквивалентность выводимой и невыводимой формул невозможна, поскольку присоединение первой формулы к системе аксиом не сделает выводимой вторую формулу. [32]
ПРОПОЗИЦИОНАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ, и с ч и с ленив высказывани и, - логическое исчисление, в к-ром выводимыми объектами являются пропозициональные формулы. [33]
Во втором томе подробно излагаются и обсуждаются результаты теории доказательств, относящиеся к логическим исчислениям и к формализованной арифметике. Это известная теорема Эрбрана, дающая важный критерий выводимости формул в исчислении предикатов, теорема Черча о невозможности алгоритма, распознающего выводимые формулы исчисления предикатов, теорема Геделя о неполноте арифметических исчислений и различные доказательства непротиворечивости формализованной арифметики. Особую ценность представляет подробное обсуждение используемых при доказательстве непротиворечивости арифметики средств, выходящих за рамки первоначальной финитной точки зрения Гильберта. [34]
В частности, будут изложены элементы так называемого обратного метода установления выводимости в логических исчислениях и даны примеры его теоретических приложений. [35]
В том числе не содержит и таких индивидуальных предикатов, которые определяются в терминах самого логического исчисления. [36]
Раскрытие внутренней структуры элементарных высказываний и связанное с ними увеличение возможностей для логического анализа достигаются путем более сложных логических исчислений, в частности так называемым исчислением предикатов ( см. гл. Что же касается исчисления высказываний, то мы должны мириться с относительной бедностью его выразительных средств, представляющей собой как бы своеобразную плату за простоту и прозрачность этого исчисления. [37]
Нам необходимо дать достаточно полное изложение исчисления высказываний ввиду того, что это исчисление входит как составная часть во все другие логические исчисления, которые мы будем в дальнейшем рассматривать. [38]
Многообразие научных и технических исследований, называемое искусственным интеллектом, уже давно использует различные логические средства - язык, понятия и приемы логических исчислений. В искусственном интеллекте есть целая область, существенно опирающаяся на логические представления и конструкции, основная ее задача состоит в разработке способов доказательства теорем. [39]
Пропозициональная связка Э используется в дальнейшем как инструмент для получения логических следствий из тех или иных формул пропозиционального исчисления и других, более высоких логических исчислений. Такие следствия должны быть истинными при истинности исходных формул. Поэтому конструкция вывода обязательно должна исключить возможность ( указанием на свою ложность в этом случае) получения ложных следствий при истинности исходных формул. В то же время при ложности исходных данных получение любых следствий ( как истинных, так и ложных) не свидетельствует, разумеется, о ложности самой конструкции вывода. Это обстоятельство и находит свое конкретное выражение в таблице истинности для формулы А Э В. [40]
Важной особенностью силлогистики Аристотеля является то, что она разработана для непустых классов ( задаваемых терминами 5 и Р), в то время как современные логические исчисления допускают, что некотог рые из рассматриваемых классов могут оказаться пустыми. Именно поэтому Частноутвердительное суждение / может рассматриваться как простое следствие общеутвердительного суждения А. Например, из того, что все птицы имеют перья, автоматически следует, что существует по крайней мере одна птнца, которая имеет перья. Действительно, непустота области II вытекает из пустоты области I, поскольку известно, что класс S в целом не пуст: в нем содержится по крайней мере один объект и если он не может находиться в области I, то, значит. II, так как класс 5 состоит только из этих двух областей. [41]
Тезаурусная модель коммуникации допускает, что логическая часть тезаурусов ( для отображения коммуникации в различных условиях и с разных сторон) может строиться на основе различных логических исчислений. [42]
Основные темы книги - соотношение между теориями и их моделями, или между схемами баз данных и их состояниями; совпадение истинности и выводимости и построение алгоритмов проверки того, что некоторое логическое условие является следствием заданного множества условий; трансляция непроцедурных логических исчислений в процедурные алгебраические языки; оптимизация алгебраических выражений. Хотя книга не покрывает всех полученных теоретических результатов, она дает возможность свободно обращаться к свежим журнальным публикациям за дополнительной информацией. [43]
Поэтому при применениях математической логики бывает необходимым предполагать условия, в которых делается то или иное постоянное высказывание, заданными столь точно и определенно, что значение истинности этого высказывания не может претерпевать изменений в процессе получения различного рода выводов и следствий из него в рамках используемого логического исчисления. Таким образом, любое постоянное высказывание на всем протяжении того или иного логического вывода должно считаться либо все время истинным, либо все время ложным. [44]
В книге собран и обобщен материал, необходимый для построения таких разделов современной кибернетики, как теория электронных цифровых машин, теория дискретных автоматов и теория дискретных самоорганизующихся систем, автоматизация мыслительных процессов, теория распознавания образов и др. Изложены основы теории булевых функций, теория алгоритмов, логические исчисления и логические сети, основные вопросы теории автоматов, принципы построения электронных цифровых машин и универсальных алгоритмических языков, основы теории персептронов, некоторые принципиальные вопросы теории самоорганизующихся систем. [45]