Cтраница 2
Алгебры вида А ( для ассоциативной алгебры Л и их подалгебры называются специальными йордановыми алгебрами. Они уже не являются столь универсальными примерами йордановых алгебр, как алгебры А ( - и их подалгебры в случае алгебр Ли. Существуют йордановы алгебры, которые не изоморфны подалгебрам алгебры Л () ни для какой ассоциативной алгебры А. Такие алгебры называются исключительными. [16]
Именно, первичное альтернативное кольцо ( с 1 / 6 в коммутативном кольце операторов) либо ассоциативно, либо есть кольцо Кэли - Диксона. Первичное мальцевское кольцо либо является лиевым, либо его центральное замыкание есть ( семимерная) алгебра, присоединенная к алгебре Кэли - Диксона. Первичная невырожденная йорданова алгебра либо специальна, либо является кольцом Алберта ( йорданово кольцо А наз. [17]
Если М - некоторый Л - бимодуль, то отображения р ( я): т - та и К ( а): т - ат являются линейными операторами на М, а отображения а-р ( а), а - ( а) - суть линейные отображения из Л в алгебру EndM. Пара ( р, Я) линейных отображений из Л в алгебру End М эндоморфизмов некоторого векторного пространства М называется бипредставлением алгебры А в классе 2Я, если М, наделенное композициями пга mp ( a), am mK ( a), является бимодулем над Л в классе ЭД. Ясно, что понятия бимодуля и бипредставления взаимно определяют друг друга. С помощью соотношений ( 16) и ( 17), определяющих альтернативные и йордановы бимодули, мы можем легко выписать условия, задающие бипредставления в этих классах. [18]
Математика XX века, так же как и теоретическая физика, все активнее включает в свой арсенал методы неассоциативной алгебры. Достаточно вспомнить йордановы алгебры, которые возникли как аппарат квантовой механики. С другой стороны, алгебры Ли, будучи сами неассоциативными, отражают существенные свойства таких ассоциативных объектов как группы Ли. В настоящем обзоре рассматриваются основные классы неассоциативных алгебр, в определенной степени близких к ассоциативным: альтернативные, йордановы, алгебры Мальцева. [19]