Cтраница 2
На плоскости ( N-2) множество М можег быть таким, что попарное усреднение не образует выпуклую оболочку множества. Так, множество Mt на рис. 27 не выпукло. УгУзУз - Теорема Каратеодори утверждает, что больше трех точек усреднять не требуется. Для получения пространственной фигуры с нулевым объемом в трехмерном пространстве ( N 3) достаточно четырех точек. [16]
К зависит только от М, / С - абсолютная константа, z, и 22 -произвольные точки круга zjl, a W H w2 - соответствующие им точки замкнутой области D L. Первая из этих оценок дает количественное выражение порядка равностепенной непрерывности семейства однолистных ограниченных функций, а вторая семейства обратных функций. Отсюда вытекает упомянутая выше основная теорема Каратеодори о соответствии границ и теоремы Куранта и Фарреля о равномерной сходимости последовательности однолистных функций. [17]
Во всех остальных точках решения этой задачи являются гладкими. Достаточные условия, при которых задача (3.3), (3.4) имеет единственное решение такого типа, даются следующей теоремой Каратеодори, которую приведем без доказательства. [18]
П-22) и достаточно двух элементов М, чтобы соединяющий их отрезок дополнил множество М до минимального выпуклого множества. На плоскости ( N 2) множество М может быть таким, что попарное усреднение не образует выпуклой оболочки множества. Так, множество М, изображенное на рис. 11.22, не является выпуклым. Теорема Каратеодори утверждает, что больше трех точек осреднять не требуется. [19]
Мы представляем вектор х в виде неотрицательной комбинации определяющих векторов, а затем доказываем, что эти определяющие векторы действительно содержатся в конусе. Однако число определяющих векторов может быть очень большим, настолько, что для их представления потребуется экспоненциальное время. К счастью, существует следующее полезное утверждение ( называемое теоремой Каратеодори ( 1907)), гласящее, что всякий вектор, принадлежащий конусу, можно представить как неотрицательную линейную комбинацию не более чем п определяющих векторов где п - размерность данного пространства. [20]