Cтраница 1
Кардиналы Рамсея называются так потому, что свойство разбиения, определяющее их, подсказано теоремой Рамсея. [1]
Используем кардиналы Рамсея для решения проблемы 7.3.3. Здесь мы также воспользуемся понятием множества неразличимых элементов, которое было введено в разд. [2]
Определим теперь кардиналы Рамсея. [3]
Покажем, что кардиналы Рамсея обладают свойством ветвления и, следовательно, слабо компактны. [4]
ПРЕДЛОЖЕНИЕ 7.3.12. Каждый кардинал Рамсея слабо компактен. [5]
Если ZFC существует кардинал Рамсея непротиворечива, то ZFG - - гипотеза Чэна выполняется для ( о, со), ( w, o) также непротиворечива. [6]
Предположим, что существует кардинал Рамсея. [7]
В свою очередь существование кардиналов Рамсея следует из существования гигантских кардиналов. Возможно, гипотеза 4 следует из предположения о том, что О не существует. [8]
Теперь мы покажем, что Кардиналы Рамсея слабо компактны. [9]
Предположим, что а - кардинал Рамсея и ЭД - вполне упорядоченная модель типа а языка мощности г. С а. В частности, существует элементарная цепь ЭД р, где р - кардинал а, такая, что 2ta 21, и для которой выполняются условия ( b) - ( d) теоремы Силвера. [10]
Предположим, что а - кардинал Рамсея. [11]
Таким образом, а есть кардинал Рамсея. [12]
Таким образом, приведенная выше теорема показывает, что все кардиналы Рамсея являются кардиналами Роуботтома. Из предложения 7.3.7 вытекает, что все кардиналы Роуботтома либо слабо недостижимы, либо имеют конфинальность со. [13]
Теорема 7.4.7 весьма примечательна, так как она показывает, что из предположения о существовании большого кардинала ( кардинала Рамсея) следует нечто новое о множествах натуральных чисел. Конечно, даже из существования недостижимого кардинала а со вытекают теоретико-числовые факты, например что ZF непротиворечива. Однако теорема 7.4.7 более впечатляющая, так как здесь из аксиомы бесконечности следуют интересные и неожиданные с точки зрения математики факты о множествах действительных чисел. [14]
Это упражнение показывает, что существуют слабо компактные кардиналы со Р х ( со); отсюда вытекает, что первый несчетный слабо компактный кардинал не является кардиналом Рамсея. [15]