Cтраница 2
ПРЕДЛОЖЕНИЕ 7.3.15. Пусть а - несчетный измеримый кардинал, и пусть D - нормальный ультрафильтр над а. Тогда множество всех кардиналов Рамсея Р а принадлежит D. Отсюда следует, что а, есть а-й кардинал Рамсея. [16]
Таким образом, со не является кардиналом Рамсея. [17]
Следовательно, а не является кардиналом Рамсея. [18]
Предположим, что а - кардинал Рамсея. Поскольку со, 7 2Ш, то кардиналы Рамсея недостижимы и со, 7 а. [19]
ПРЕДЛОЖЕНИЕ 7.3.15. Пусть а - несчетный измеримый кардинал, и пусть D - нормальный ультрафильтр над а. Тогда множество всех кардиналов Рамсея Р а принадлежит D. Отсюда следует, что а, есть а-й кардинал Рамсея. [20]
Мы теперь возобновим исследование, начатое там, но будем применять уже другие теоретико-модельные конструкции, в частности, функции Скулема и неразличимые элементы. Сначала покажем, что класс кардиналов Рамсея лежит между классами слабо компактных кардиналов и измеримых кардиналов. Затем будет показано, что три приведенных выше вопроса имеют утвердительные ответы для кардиналов Рамсея. Стандартные факты о конструктивных множествах, которые нам потребуются, формулируются здесь без доказательств. [21]
Аксиома конструктивности и основные свойства конструктивных множеств введены Геделем [1939, 1940] для доказательства того, что непротиворечивость ZF влечет за собой непротиворечивость ZFC ОКГ. Этот раздел основывается главным образом на работе Гейфмана и Роуботтома, а затем и Силвера. Используя итерированные ультрастепени, Гейфман доказал, что если существует измеримый кардинал а со, то все следствия теоремы 7.4.7 справедливы. Независимо Роуботтом доказал, что если существует кардинал Рамсея, то справедлив пункт ( i) теоремы 7.4.7. Используя методы, развитые в последнем разделе, Силвер доказал теорему 7.4.7 в ее настоящем виде. Она улучшает как результат Гейфмана, так и результат Роуботтома. Другие два основных результата этого раздела, теоремы 7.4.10 и 7.4.12, принадлежат Кейслеру и Роуботтому. Роуботтом первый доказал, что любой нетривиальный случай гипотезы Чэна противоречит аксиоме конструктивности. [22]
Мы теперь возобновим исследование, начатое там, но будем применять уже другие теоретико-модельные конструкции, в частности, функции Скулема и неразличимые элементы. Сначала покажем, что класс кардиналов Рамсея лежит между классами слабо компактных кардиналов и измеримых кардиналов. Затем будет показано, что три приведенных выше вопроса имеют утвердительные ответы для кардиналов Рамсея. Стандартные факты о конструктивных множествах, которые нам потребуются, формулируются здесь без доказательств. [23]