Cтраница 2
При таком рассмотрении этих теорем остается невыясненным ( что действительно и не может быть выяснено с помощью таких простых средств), существуют ли на кривой третьего порядка только одна тройка точек поворота указанного типа, а на кривой четвертого порядка только одна четверка двойных касательных, или несколько. [16]
Двойственная кривая также связана с парой эллипсов. Точкам пересечения исходных эллипсов соответствуют двойные касательные двойственных. [17]
Если точка О и плоскость СР2 выбраны в общем положении, то кривая ветвления Г будет неособой кривой общего положения, поэтому у нее будет ровно 28 двойных касательных. Покажем, что одна из этих двойных касательных соответствует касательной плоскости к поверхности К в точке О, а остальные 27 двойных касательных соответствуют прямым, лежащим на поверхности К. [18]
Соблюдение последнего условия - химического равновесия - заставляет принять, что равны отрезки, отсекаемые на оси ординат касательными. При этом касательные к двум точкам сливаются в одну двойную касательную. [19]
Все возможные типы особых сечений поверхности К плоскостями, проходящими через точку О, изображены на рис. 6.6. В случае ( а) получаем касательную общего положения; в случае ( в) получаем касательную в точке перегиба. В случаях ( б) и ( г) получаем двойные касательные. При этом случай ( б) встречается ровно один раз - он соответствует касательной плоскости, а случай ( г) встречается ровно раз. [20]
В частности, неособая кривая степени 3 имеет ровно 9 точек перегиба и не имеет двойных касательных, а неособая кривая степени 4 имеет ровно 24 точки перегиба и ровно 28 двойных касательных. [21]
Рассмотрим линию, которая касается кривой только в двух точках и нигде не лежит под кривой полезности. Это следует из того, что касательная к кривой при 7 будет тогда круче, чем двойная касательная, и будет пересекать ее прежде /; хорда от 7 до более низкого дохода будет даже еще круче. Это - основа утверждения, что потребительская единица может быть не расположена ко всем азартным играм. [22]
Если точка О и плоскость СР2 выбраны в общем положении, то кривая ветвления Г будет неособой кривой общего положения, поэтому у нее будет ровно 28 двойных касательных. Покажем, что одна из этих двойных касательных соответствует касательной плоскости к поверхности К в точке О, а остальные 27 двойных касательных соответствуют прямым, лежащим на поверхности К. [23]
Отображение р является разветвленным накрытием. Предположим, что С - неособая кривая степени п, а точка О не лежит ни на кривой С, ни на двойных касательных, ни на касательных в точках перегиба. Двойной касательной называют прямую, касающу - 4.3 юся кривой С в двух различных точках. [24]
На рис. 51 эта двойная касательная в каждой точке кривой К горизонтальна. Событие, приводящее к образованию изображенной на р.ис. 51, - особенности, состоит в том, что кривая К сама касается проходящей через нуль двойной касательной к индикатрисе. [25]
В частности, неособая кривая степени 3 имеет ровно 9 точек перегиба и не имеет двойных касательных, а неособая кривая степени 4 имеет ровно 24 точки перегиба и ровно 28 двойных касательных. [26]
Отображение р является разветвленным накрытием. Предположим, что С - неособая кривая степени п, а точка О не лежит ни на кривой С, ни на двойных касательных, ни на касательных в точках перегиба. Двойной касательной называют прямую, касающу - 4.3 юся кривой С в двух различных точках. [27]
О, которые имеют заданные нули и полюса. При переводе на геометрический язык это приводит к исчерпывающему описанию кривых, которые с заданной степенью касаются заданной выше кривой в заданных точках. Этот метод приводит к целому водопаду выдающихся геометрических результатов: теорема Плюккера о том, что кривая 4 - й степени имеет 28 двойных касательных ( т.е. прямых, которые касаются ее в двух точках), является простейшим примером. [28]
Начало геометрической деятельности Клебша приходится на 1860 г. К этому времени лицо области, которая позже будет названа алгебраической геометрией, было сформировано работами Понсе-ле, Шаля, Кэли, Сильвестра, Сальмона, Мебиуса, Гессе и Плюк-кера. Была детально разработана проективная теория кривых и поверхностей второго порядка. Результаты общего характера, которые относились к плоским кривым произвольной степени, были получены Плюккером: формулы, носящие его имя, связывали степень кривой, ее класс и число ее двойных точек и двойных касательных. [29]