Катастрофа - складка
Cтраница 2
Рассмотренная сейчас наиболее простая трансформация энергии, заключающаяся в слиянии и исчезновении минимума и максимума под действием единственного управляющего параметра, называется катастрофой складки. Ей соответствует траектория равновесия XCY, которая загибается в критической точке С, меняя при этом характер устойчивости. [16]
Поэтому для того чтобы сделать все, типично появляющееся в однопараметрическом семействе, локально эквивалентным одной из трех стандартных форм ( линейная, морсовская и катастрофа складки), мы должны в используемых эквивалентностях допустить сдвигающие члены. Как мы увидим, в большинстве приложений это является разумным. [17]
Следовательно, / j s приводится с помощью замены координат t, s и зависящей от ( t, s) замены координаты х к стандартной катастрофе складки из § 2 гл. Действие s сводится к сдвигающему члену s3 / 27 T. TS / 3, равно как и на тип критической точки. [18]
В теории динамических систем еще отсутствует полная классификация, соответствующая классификации элементарной теории катастроф, но уже установлено, что бифуркация Хопфа и бифуркация седло - узел ( или катастрофа складки) являются единственными структурно устойчивыми локальными бифуркациями, наблюдаемыми при изменении одного управляющего параметра. Существенное значение вывода о наличии бифуркации Хопфа при колебаниях шланга состоит в том, что гарантируется его структурная устойчивость и тем самым возможность экспериментального наблюдения бифуркации при изменении одного управляющего параметра. [19]
Эти картинки универсальны в том смысле, что они являются всеобщими для типичных путей, по которым одно-параметрическое семейство функций может пройти через неморсовскую особенность. Они определяют катастрофу складки, простейшую из всех катастроф. [20]
Точная геометрическая картина того, как М располагается над С, также отражает характерные свойства струй: прямая кубических струй, дающих тип складки, действительно задает в М линию складок. Это - следствие универсальности катастрофы складки как деформации функции X3, и данное обстоятельство является общим. [21]
F - функция, которая может быть приравнена еще к одной переменной в первой степени или любой постоянной величине, например к нулю. Тип элементарней катастрофы, определяемой связью, описываемой первым простейшим уравнением, носит название катастрофы складки, поскольку в пространстве трех координат - двух переменных и параметра а ( поверхность, описываемая уравнением, имеет вид складки, начинающейся при а 0 и углубляющейся по мере дальнейшего уменьшения параметра. [22]
Они ввели массу-энергию М как определяющий потенциал, связывающий равновесие и устойчивость с числом барионов А ( или, что эквивалентно, с массой системы барионов МА, пропорциональной А), которое играет роль управляющего параметра, и с плотностью в центре рс, которая в данном случае является обобщенной координатой. Была построена трехмерная картина энергетических переходов в пространстве М - А - р0, которая соответствует катастрофе складки при dM / dA V Q в критической точке. Оказалось, что при этом условии как потенциал М, так и параметр А принимают экстремальные значения в критической точке траектории равновесия. [24]
 |
Проекция решения уравнения равновесия в пространство энергия - управляющий параметр, показывающая точки возврата в складках. Л [ г5 барион. [25] |
Они ввели массу-энергию М как определяющий потенциал, связывающий равновесие и устойчивость с числом барионов А ( или, что эквивалентно, с массой системы барионов МА, пропорциональной А), которое играет роль управляющего параметра, и с плотностью в центре р0, которая в данном случае является обобщенной координатой. Была Построена трехмерная картина энергетических переходов в пространстве М - А - р0, которая соответствует катастрофе складки при dMldA V Q в критической точке. Оказалось, что при этом условии как потенциал М, так и параметр А принимают экстремальные значения в критической точке траектории равновесия. [26]
Другая возможность, интуитивно менее очевидная, заключается в том, что гессиан может стать особым не из-за того, что он вырождается в каком-нибудь направлении - как оператор он остается инъективным - а из-за отсутствия сюръективности, хотя топологически образ его и будет плотным. Тем не менее имеется вполне определенное многообразие равновесий, устойчивых или неустойчивых, геометрия которого устойчива и отвечает геометрии катастрофы складки. Еще неясно, насколько далеко можно обобщить этот пример на поддающиеся классификации семейства нерасщепляемых катастроф, связанные с семействами из гл. [27]
 |
Решение уравнения равновесия для холодной звездной массы. График зависимости массы-энергии от плотности в центре р0. [28] |
На рис. 53 приводятся результаты исследования равновесия и устойчивости, в которых масса-энергия представлена как функция плотности в центре звезды. Здесь видно, что возможны только две области устойчивости, соответствующие белым карликам и нейтронным звездам. С увеличением числа барионов и массы-энергии каждая из этих областей достигает критического положения равновесия, или катастрофы складки, при которой доминируют гравитационные силы и может начаться коллапс. [29]
Чтобы установить эти результаты для дискретных консервативных систем, поведение которых определяется потенциальной функцией, Ренэ Том привлек топологическую концепцию структурной устойчивости. Теория катастроф объяснила зависимость экспериментально наблюдаемых форм неустойчивости от числа управляющих параметров. В связи с этим, если имеется только один управляющий параметр К, в случае общего положения можно наблюдать лишь катастрофу складки, которая имеет локально потенциальную функцию, указанную в таблице. [30]
Страницы: 1 2 3