Cтраница 1
Замкнутая категория V - это симметричная моноидальная категория, в которой для каждого функтора - П b: V - V однозначно задан правый сопряженный () 6: V - V. А): это абелева группа всех морфизмов В - - А. Декартово замкнутые категории, такие как Set или Cat, замкнуты и в новом смысле. Во всех этих случаях функтор () ь: V - V является разновидностью внутреннего horn - функтора. [1]
В произвольной декартово замкнутой категории найдите естественное преобразование cb x Ъа - са, в случае категории Set согласованное с композицией функций. Докажите, что оно ( как и композиция) ассоциативно. [2]
Пусть К - декартово замкнутая категория с инициальным объектом О. [3]
Используя лишь понятие сопряженного функтора, мы определим теперь декартово замкнутые категории. [4]
X ( см. пример 2)), называется декартово замкнутой категорией. [5]
Приведенный материал показывает, что многие теоретико-множественные конструкции хорошо воспроизводятся в декартово замкнутых категориях. Такие категории, впрочем, далеко не исчерпываются категорией множеств, и бывают существенные отклонения. [6]
Категория ф частично упорядоченных множеств и монотонных отображений в качестве морфизмов - декартово замкнутая категория. [7]
Покажите, что предпорядок P ( U), состоящий из всех его подмножеств, является декартово замкнутой категорией. [8]
Существует, однако, сильная категорийная комбинаторная логика ККЛ, которая берет в качестве своих аксиом результаты теории декартовых замкнутых категорий, обсуждаемой в предыдущем разделе. Эти аксиомы, по существу, являются более абстрактной формой правил СККЛ в том смысле, что применения функций к переменным, представляющим контексты, заменены композициями с другими переменными функций. Это требует введения функции тождества Id вместе с двумя аксиомами, соответствующими ее композиции слева и справа. [9]
Компактно порожденные пространства впервые появились в 1955 г. в книге Джона Келли по общей топологии; их полезность выявилась в работах ( Steenrod [1967], Gabriel-Zisman [1967]) и др. В топологии с успехом применяются и другие типы замкнутых категорий, в особенности квазитопологические пространства, введенные Спеньером. [10]
Идея понятия конца была найдена Йонедой ( Yoneda [ I960 ]) и эффективно применена в работе ( Day, Kelly [1969]); эти авторы заметили, что понятие конца существенно для категорий, связанных не с Set, а с другими замкнутыми категориями. [11]
Имеются связи между К. Так, понятию декартовой замкнутой категории соответствует гейтинговское исчисление высказываний. [12]
Следует отметить, что любая категория с нулевым объектом, отличная от однообъ-ектной дискретной категории, не может быть декартово замкнутой категорией. [13]
В частности, произведение семейства множеств совпадает с декартовым произведением этого семейства, копроизведение семейства множеств совпадает с разъединенным объединением этого семейства. Декартово произведение, рассматриваемое как бифунктор, Horn-функтор Н: ( S XS - - S и одноэлементное множество снабжают структурой замкнутой категории. [14]
На обогащенные категории переносятся практически все основные результаты теории категорий при условии, что исходная категория В - не только моноидальная, но и замкнутая. Развитие в этом направлении ( см. ( Dubuc [1970]) и ( Kelly [1982]), а также ссылки в этих работах) может дать мощный метод, позволяющий единообразно рассматривать как обычные категории, так и аддитивные категории, связанные с замкнутыми категориями цепных комплексов ( для целей алгебры относительных гомологии), а также категории, связанные с подходящим декартово замкнутым вариантом категории Тор. [15]