Cтраница 2
Замкнутая категория V - это симметричная моноидальная категория, в которой для каждого функтора - П b: V - V однозначно задан правый сопряженный () 6: V - V. А): это абелева группа всех морфизмов В - - А. Декартово замкнутые категории, такие как Set или Cat, замкнуты и в новом смысле. Во всех этих случаях функтор () ь: V - V является разновидностью внутреннего horn - функтора. [16]
Пусть Sh / () - полная подкатегория топоса 6, порожденная ( /) - пучками. Для любого ( /) - пучка F и любого объекта X 6 объект Рх является ( /) - пучком. Следовательно, Sh / ( 6) - декартово замкнутая категория. [17]
Понятие моноидальной категории было явно сформулировано Бенабу ( Benabou [1963, 1964]), который называл их categories avec multiplication ( категории с умножением), и Маклейном ( Mac Lane [ 1963b ]), который их называл соответственно categories with multiplication; современное название принадлежит Эйленбергу. Теоремы когерентности стали предметом активной деятельности; Ламбек ( Lambek [1968]) нашел здесь замечательные связи с теоремами об устранении сечения в генценовской теории доказательств; на основе его идей в работе ( Kelly, Mac Lane [1971]) была доказана теорема когерентности для замкнутых категорий. Симплициальная категория в течение долгого времени присутствовала неявно в формулах для границ в алгебраической топологии; она появилась в явном виде в контексте пространств Эйленберга-Маклейна и теоремы Эйленберга-Зильбера около 1950 г. и затем сыграла роль в развитии гомологической алгебры ( см. замечания к гл. Наше обсуждение монад и когомологии затрагивает лишь пролог к позднейшему бурному развитию концептуальных схем гомологической алгебры. [18]
Терминальным объектом Г категории Cat является однообъектная дискретная категория, а инициальным объектом 1 - пустая категория. Cat - декартово замкнутая категория. [19]
Сейчас мы хотели бы подчеркнуть, что, с другой стороны, к настоящему времени теория категорий выделяется и в самостоятельную ветвь математики со своими внутренними интересами и задачами. Теория категорий хорошо зарекомендовала себя при объяснении различных общих закономерностей математики. Очарование таинственности сменяется другим сильным ощущением понимания природы явлений. Одновременно и свои собственные тайны появляются уже у самой теории категорий. Исходная идея категории обогащается новыми понятиями и конструкциями, способствующими внутреннему развитию теории категорий и имеющими общематематическое значение. Выделяются различные свойства и классы категорий, исследуются связи между ними. Мы здесь называли декартово замкнутые категории и топо-сы, выделяли абелевы категории, можно указать и другие интересные классы. [20]