Cтраница 1
Малые категории Si и 3) 2 для которых категории функторов 8 ( S) iSET) и 5 ( 32SET) эквивалентны, называются эквивалентными в смысле Мориты или морита-эквивалентными. Si, ) и S ( S2, Л) в произвольную категорию К с разложением эквивалентны тогда и только тогда, когда категории 2i и Ф2 морита-эк-вивалентны. Любая малая категория 3) морита-экви-валентна такой своей полной подкатегории Й0, что каждый объект категории 35 является ретрактом некоторого объекта из 30 ( см. Полин С. В. / / Вестник МГУ: Математика, механика. [1]
Если малая категория С полна в малом, то она является предпорядком, причем каждое малое множество его элементов имеет наибольшую нижнюю грань. [2]
Для любой малой категории 3) топос S ( 3) op, SET) называется топосом предпучков на категории % со значениями в категории множеств или топосом множественных предпучков на категории Si. Из теоремы Жиро вытекает, что если 6 - топос Гротендика, то для любой малой категории 3) категория функторов g ( S, Щ является топосом Гротендика. [3]
Тогда существует малая категория С CG с множеством объектов О и морфизм графов Р: G - UC из G в граф-носитель UC категории С, причем выполнено следующее утверждение. [4]
Следствие 1.3. Всякая малая категория Й конкретна. [5]
Тэорема 1.6. Всякая малая категория б, изоморфна полной подкатегории универсальных алгебр с унарными операциями. [6]
Если С - малая категория, то контравариантный функтор F: Сор - Set часто называют предпучком. [7]
Поскольку J - малая категория, то Cone ( F) - малое множество и, значит, объект в категории Set. [8]
Всякий ковариантный функтор F из произвольной малой категории b в категорию Я обладает И. [9]
Пусть 51 и 23 - две малые категории, 5t есть 21, 93 -биполная категория и F: 51 X 33 - St - некоторый функтор. [10]
А, В е 91 сопоставляется малая категория 91 ( Л, В), объекты которой называются 1-морфизмами, а морфизмы - 2-морфизмами 2-категории Я. [11]
Декартово замкнутыми являются: категории множеств, категория малых категорий, категория пучков множеств над топологич. [12]
Если б - произвольный топос, то для малой категории 3) категория функторов 8f ( S, б) в общем случае топосом не является. [13]
В действительности справедливо более общее утверждение: для любой малой категории 3) категория функторов 8 ( 3, SET) является топосом. [14]
Примером 2-категории является 2-категория 2 - Cat, объектами которой служат все малые категории, 1-морфизмами - все функторы между малыми категориями и 2-морфизмами - естественные преобразования функторов. [15]