Cтраница 2
Поскольку эти диаграммы выражают аксиомы категорий, то категорный объект в Set - не что иное, как обычная малая категория. Категорный объект в Grp - это категория, в которой множество объектов CQ и множество стрелок С являются группами, причем все структурные отображения i do di и 7 являются гомоморфизмами групп. [16]
Примером 2-категории является 2-категория 2 - Cat, объектами которой служат все малые категории, 1-морфизмами - все функторы между малыми категориями и 2-морфизмами - естественные преобразования функторов. [17]
Такое определение 2-категории охватывает примеры, приведенные выше: во-первых, 2-категорию топологических пространств, непрерывных отображений и классов гомотопий; во-вторых, 2-категорию Cat малых категорий, функторов и естественных преобразований. [18]
Очевидно, что подкатегория конкретной категории конкретна. Всякую малую категорию U можно изоморфно вложить в малую связанную категория - , например, приоеединив формально нулевые морфигшы. Поэтому можно дополнительно считать, чтд категория Й связанная. [19]
Категория, в которой класс ОЬ является множеством, называется малой категорией. Очевидно, что в малой категории класс Мог также является множеством. [20]
Поэтому естественным обобщением модуля служит функтор из предаддитивной малой категории ( ее называют также кольцом с несколькими объектами) в категорию абелевых групп. [21]
Таким образом, мы можем говорить о метакатегории всех категорий: ее объектами являются все категории, а стрелки - все функторы с описанной композицией. Аналогично, мы можем образовать категорию Cat всех малых категорий - но не категорию всех категорий. [22]
Понятие абелевой категории самодвойственно, так что категория Р, двойственная абелевой категории ft, является абелевой категорией. Если № - абелева категория, то для любой малой категории 3) категория функторов 5 ( 3), К) - абелева категория. [23]
Каждый топос является точной конечно копол-ной категорией со строго инициальным объектом - L, в которой регулярны каждый эпиморфизм и каждый мономорфизм. Если топос 6 является ( 3) - полным для малой категории 5), то он и Ф - кополный. [24]
Этот классический вариант специальной теоремы о сопряженном функторе ( иногда обозначаемой SAFT - Special Adjoint Functor Theorem) часто встречается без явного упоминания о малости horn - множеств - если в данной работе рассматриваются лишь категории с малыми horn - множествами. Некоторые авторы используют для категорий, малых в смысле подобъектов, термин локально малые категории, но другие называют так категории с малыми horn - множествами, так что мы вообще отказались от этого термина. [25]
Для любой малой категории 3) топос S ( 3) op, SET) называется топосом предпучков на категории % со значениями в категории множеств или топосом множественных предпучков на категории Si. Из теоремы Жиро вытекает, что если 6 - топос Гротендика, то для любой малой категории 3) категория функторов g ( S, Щ является топосом Гротендика. [26]
Малые категории Si и 3) 2 для которых категории функторов 8 ( S) iSET) и 5 ( 32SET) эквивалентны, называются эквивалентными в смысле Мориты или морита-эквивалентными. Si, ) и S ( S2, Л) в произвольную категорию К с разложением эквивалентны тогда и только тогда, когда категории 2i и Ф2 морита-эк-вивалентны. Любая малая категория 3) морита-экви-валентна такой своей полной подкатегории Й0, что каждый объект категории 35 является ретрактом некоторого объекта из 30 ( см. Полин С. В. / / Вестник МГУ: Математика, механика. [27]
Точно так же можно интерпретировать объединения как частный случай копределов в Grp, Ab и других известных категориях. Возможно, теперь читатель захочет проверить факт, который мы вскоре докажем ( упр. J - малая категория, то любой функтор F: J - Set имеет копредел. [28]
Каждая категория С превращается в граф UC с теми же объектами и стрелками, если забыть об умножении стрелок и о единицах. Каждый функтор F: С - С является и морфизмом UF: UC - UC между соответствующими графами. В результате определяется забывающий функтор U: Cat - Grph из категории малых категорий в категорию графов. [29]
P, двойственная предаддитивной категории ft, является предаддитивной категорией. Однообъектная предаддитивная категория представляет собой не что иное, как ассоциативное кольцо R с единицей. Если ft - предаддитивная категория, то для любой малой категории S) категория функторов § ( Ф, ) предаддитивна. [30]