Cтраница 1
Моноидальная категория, согласно определению из гл. Главный результат относительно этих категорий состоит в теореме когерентности: если коммутативна определенная пятиугольная диаграмма, включающая а ( ( 5), § 7.1), то коммутативны и все диаграммы, включающие это а. Рассмотрим теперь различные обобщения этого результата. [1]
Понятие моноидальной категории было явно сформулировано Бенабу ( Benabou [1963, 1964]), который называл их categories avec multiplication ( категории с умножением), и Маклейном ( Mac Lane [ 1963b ]), который их называл соответственно categories with multiplication; современное название принадлежит Эйленбергу. [2]
Стандартным примером моноидальной категории М служит категория всех векторных пространств над данным полем F с обычным тензорным произведением в качестве произведения П и с одномерным векторным пространством F в качестве единицы; вот почему моноидальные категории часто называют тензорными категориями. [3]
Напомним, что моноидальная категория называется строго моно-идальной, если структурные отображения а, 7 и р - тождественные. [4]
Пусть снова фиксирована моноидальная категория В. [5]
Решив вопросы когерентности в моноидальных категориях, мы сможем определить в них моноиды, действие моноидов на объекты категории, а также построить свободные моноиды. Затем мы определим симплициальную категорию, которая окажется основной моноидальной категорией, поскольку она содержит универсальный моноид и играет важную роль в симплициальных разбиениях и сим-плициальной топологии. В заключение мы рассмотрим замкнутые моноидальные категории на примере компактно порожденных пространств. [6]
Замкнутая категория V - это симметричная моноидальная категория, в которой для каждого функтора - П b: V - V однозначно задан правый сопряженный () 6: V - V. А): это абелева группа всех морфизмов В - - А. Декартово замкнутые категории, такие как Set или Cat, замкнуты и в новом смысле. Во всех этих случаях функтор () ь: V - V является разновидностью внутреннего horn - функтора. [7]
По теореме 1, § 11.3 моноидальная категория М сильно эквивалентна строго моноидальной категории S. Заузли-вание 7 в М при этой эквивалентности непосредственно переходит в заузливание в 5, так что эквивалентность М - S является сильным морфизмом категорий с заузливанием. [8]
Функтор часто называют тензорным произведением в моноидальной категории, естественный изоморфизм а - изоморфизмом ассоциативности тензорного произведения, естественные изоморфизмы К и р - изоморфизмами соответственно левой и правой единицы тензорного произведения, объект / - единичным объектом моноидальной категории. Моно-идальную категорию ( Л, , У, а, Я, р) часто обозначают ( ft, , /) или даже одной буквой К. [9]
В качестве первого примера отметим, что любая моноидальная категория М является и бикатегорией В с одной 0-клеткой. Тогда естественные изоморфизмы а, А и р из определения моноидальной категории подходят и для построения бикатегории, поскольку удовлетворяют тем же тождествам, выраженным в пятиугольнике ( 7), § 12.6 и квадрате ( 8), § 12.6. Обратно, бикатегория В с единственной 0-клеткой является по той же причине моноидальной категорией. Как следствие, теорема когерентности для моноидальных категорий распространяется и на отображения р, А и а в бикатегориях. [10]
Поскольку F ( l) с и F должен быть морфизмом моноидальных категорий, то Fn с ( п; тем самым определена функция объектов для F. Следовательно, функтор F единствен. Осталось лишь показать, что указанные функции объектов и стрелок действительно определяют функтор. [11]
Строго моноидальная категория End ( 35) в общем случае не является симметрической моноидальной категорией. [12]
Аналогично определим поточечно Q и а; без труда проверяется, что It ( В) - ( нестрого) моноидальная категория. [13]
Покажите, что стянутое произведение в категории CGHaus коммутативно и ассоциативно с точностью до естественных изоморфизмов, которые превращают CGHaus в симметричную моноидальную категорию, причем единицей служит пространство из двух точек. [14]
Перейдя от предложения 1 § 7.5 к двойственному, получаем, что для любого комоноида в строго моноидальной категории ( 5, П, е) существует единственный морфизм моноидальных категорий ор - - 5, при котором универсальный комоноид переходит в данный. [15]