Cтраница 2
Стандартным примером моноидальной категории М служит категория всех векторных пространств над данным полем F с обычным тензорным произведением в качестве произведения П и с одномерным векторным пространством F в качестве единицы; вот почему моноидальные категории часто называют тензорными категориями. [16]
Функтор часто называют тензорным произведением в моноидальной категории, естественный изоморфизм а - изоморфизмом ассоциативности тензорного произведения, естественные изоморфизмы К и р - изоморфизмами соответственно левой и правой единицы тензорного произведения, объект / - единичным объектом моноидальной категории. Моно-идальную категорию ( Л, , У, а, Я, р) часто обозначают ( ft, , /) или даже одной буквой К. [17]
Произведение функторов FG: М - М является тождественным функтором, а произведение GF ему естественно изоморфно. Следовательно, моноидальная категория М действительно категорно эквивалентна ( посредством моноидальных функторов) строго моноидальной категории 5, как и утверждалось. [18]
В этом случае из каждого шестиугольника в ( 7) следует другой. Теорема когерентности для моноидальных категорий, доказанная в гл. [19]
Во втором издании книги Категории работают 1) добавлены две главы, предмет которых вызывает сейчас активный интерес. Одна из этих глав посвящена симметрическим моноидальным категориям, категориям кос и теоремам когерентности для них. Эти темы представляют интерес как сами по себе, так и в связи с применением в квантовой теории поля, именно, в теории струн. Во второй из новых глав рассмотрены 2-категории и категории высших размерностей, которые в последнее время привлекают большое внимание. Кроме того, пополнена библиография, чтобы в какой-то мере отразить прогресс в изучении категорий за прошедший период. [20]
Заузленные моно-идальные функторы служат морфизмами в категории моноидальных категорий с заузливанием. [21]
Решив вопросы когерентности в моноидальных категориях, мы сможем определить в них моноиды, действие моноидов на объекты категории, а также построить свободные моноиды. Затем мы определим симплициальную категорию, которая окажется основной моноидальной категорией, поскольку она содержит универсальный моноид и играет важную роль в симплициальных разбиениях и сим-плициальной топологии. В заключение мы рассмотрим замкнутые моноидальные категории на примере компактно порожденных пространств. [22]
В качестве первого примера отметим, что любая моноидальная категория М является и бикатегорией В с одной 0-клеткой. Тогда естественные изоморфизмы а, А и р из определения моноидальной категории подходят и для построения бикатегории, поскольку удовлетворяют тем же тождествам, выраженным в пятиугольнике ( 7), § 12.6 и квадрате ( 8), § 12.6. Обратно, бикатегория В с единственной 0-клеткой является по той же причине моноидальной категорией. Как следствие, теорема когерентности для моноидальных категорий распространяется и на отображения р, А и а в бикатегориях. [23]
В § 1.8 АЪ-категории ( в частности, абелевы категории) уже рассматривались как категории с horn - множествами в категории АЬ. Аналогично, можно рассмотреть категории с horn - множествами в любой моноидальной категории 5, задав для этого: множество R объектов г, s t; для каждой пары объектов г, s - объект R ( r s) Е В ] для каждой упорядоченной тройки - стрелку ( композицию. [24]
Пусть В - моноидальная, а С - произвольная категория. Покажите, что сопряжение BCxD ( BC) D является изоморфизмом моноидальных категорий. [25]
В качестве первого примера отметим, что любая моноидальная категория М является и бикатегорией В с одной 0-клеткой. Тогда естественные изоморфизмы а, А и р из определения моноидальной категории подходят и для построения бикатегории, поскольку удовлетворяют тем же тождествам, выраженным в пятиугольнике ( 7), § 12.6 и квадрате ( 8), § 12.6. Обратно, бикатегория В с единственной 0-клеткой является по той же причине моноидальной категорией. Как следствие, теорема когерентности для моноидальных категорий распространяется и на отображения р, А и а в бикатегориях. [26]
Решив вопросы когерентности в моноидальных категориях, мы сможем определить в них моноиды, действие моноидов на объекты категории, а также построить свободные моноиды. Затем мы определим симплициальную категорию, которая окажется основной моноидальной категорией, поскольку она содержит универсальный моноид и играет важную роль в симплициальных разбиениях и сим-плициальной топологии. В заключение мы рассмотрим замкнутые моноидальные категории на примере компактно порожденных пространств. [27]
В качестве первого примера отметим, что любая моноидальная категория М является и бикатегорией В с одной 0-клеткой. Тогда естественные изоморфизмы а, А и р из определения моноидальной категории подходят и для построения бикатегории, поскольку удовлетворяют тем же тождествам, выраженным в пятиугольнике ( 7), § 12.6 и квадрате ( 8), § 12.6. Обратно, бикатегория В с единственной 0-клеткой является по той же причине моноидальной категорией. Как следствие, теорема когерентности для моноидальных категорий распространяется и на отображения р, А и а в бикатегориях. [28]
Такое произведение ассоциативно, поэтому отображение ассоциативности а в S можно взять тождественным. Далее, пустая строка 0 при таком умножении действует как единица, поэтому отображения р и А в S также можно взять тождественными. При таких соглашениях S становится моноидом, но еще не моноидальной категорией. [29]
Книга написана выдающимся американским математиком С. Овладение категорным языком и умение его использовать позволяет современному математику видеть и осознавать единство науки. Особое внимание в книге уделено понятиям сопряженного функтора и моноидальной категории, которые находят разнообразные применения. [30]