Дзета-функция - риман
Cтраница 2
Вопрос об оценке среднего значения функции ц ( п) эквивалентен вопросу о границе нулей дзета-функции Римана. Вопрос об асимптотике среднего значения функции Л ( д) эквивалентен вопросу об асимпто-тич. Особо стоит вопрос об асимптотике среднего значения т ( п) или, несколько иначе, вопрос об асимпто-тич. [16]
Ст и С / - продольная и поперечная скорости звука; f ( x) - дзета-функция Римана; k - постоянная Больцмана; 5 - шющадь поверхности. Рядом авторов [449 453] предпринимались попытки проверить приведенные выше теоретические оценки. Так, еще в 1935 г. Симон и Свейн [449] обнаружили, что теплоемкость активированного древесного угля больше теплоемкости графита. Разница была объяснена большой удельной поверхностью ( площадь на грамм) активированного угля. [17]
Блох и Като [ ВК90 ] доказали ( по модулю некоторых мелочей) свою гипотезу для значений дзета-функции Римана в целых положительных числах. [18]
Отметим, что, как будет ясно из дальнейшего, это название совсем не случайно ассоциируется с дзета-функцией Римана. [19]
Таким образом, при рассмотрении модели сингулярного квадрата создается впечатление, что мы близки к построению динамической системы, собственные значения которой совпадают с нетривиальными нулями дзета-функции Римана. Однако, как уже отмечалось, эта проблема до сих пор не решена. [20]
Задаваемую этим рядом функцию можно про должить на всю плоскость; в точке 1 эта функция имеет простой по люс. Дзета-функция Римана удовлетворяет следующему функционально му уравнению. [21]
Складывается впечатление, что мнимые части нетривиальных нулей ведут себя точно так же, как и собственные значения динамической системы, не обладающей симметрией по отношению к инверсии времени. Именно это обстоятельство и стимулирует большой интерес к дзета-функции Римана со стороны исследователей, занимающихся проблемой квантового хаоса. [23]
Здесь они играют такую же роль, какую играет дзета-функция Римана в теории чисел рационального поля. [24]
 |
Численные данные для ожидаемого значения энергии. - - р2 ( квантовый ротатор с толчками как функция числа п тблчков для иррационального значения т / ( 2тг ( Hogg, Hubermann, 1982. [25] |
В заключение отметим интересные результаты ( Gutzwiller, 1983) для электрона, отражающегося от некомпактной поверхности всюду отрицательной кривизны. Было показано, что фазовый сдвиг как функция момента эффективно определяется фазовыми углами дзета-функции Римана на мнимой оси, проходящей на расстоянии 0 5 от так называемой критической линии. Этот фазовый сдвиг проявляет хаотические свойства, поскольку с его помощью можно имитировать любую заданную гладкую функцию. [26]
Эти результаты являются лучшими в проблеме равномерного распределения простых чисел в арифме-тич. Для фиксированных значений d известно несколько больше. O во многом аналогична теории дзета-функции Римана ( см. [5]) и последняя граница нулей L ( s, х), полученная по Виноградова методу оценки тригонометрич. [27]
Предметом настоящей монографии является теория распределения простых чисел в натуральном ряде. Глава, посвященная элементарной части теории, включена как в силу своего исторического интереса, так и вследствие самостоятельной ценности применяемых в ней методов. Однако в основном книга посвящена аналитической теории; основывающейся на дзета-функции Римана. Таким образом эта книга примыкает к 26-му выпуску настоящей серии) ( E. Titchmarsh, The zeta-function of Rie-mann), вышедшему в свет в 1930 г.; однако логическая последовательность обеих книг прямо противоположна хронологическому порядку их опубликования. Излагаемые здесь свойства дзета-функции можно отнести скорее к классической части теории; в своем большинстве они приведены Титчмаршем во введении без доказательства. В настоящей книге эти свойства обосновываются во всех деталях ( за исключением нескольких изолированных ссылок на Титчмарша, не отражающихся на понимании остального текста), причем соответствующие ее части могут в свою очередь служить введением к более глубокому изучению дзета-функции в книге Титчмарша. Настоящая монография не обращается исключительно к специалистам, которые найдут исчерпывающее изложение предмета в известных книгах Ландау Handbuch der Lehre von der Verteilung der Primzahlen и Vorlesungen tiber Zahlentheorie; ее цель - сделать предмет доступным более широкому кругу читателей. [28]
В предыдущем пункте была введена динамическая дзета-функция Z ( k), нули которой определяют спектр динамической системы. Название здесь выбрано не случайно. Дело в том, что введенная функция во многом напоминает дзета-функцию Римана, которая играет центральную роль в теории простых чисел. [29]
Последние пункты книги посвящены изучению биллиардов, расположенных на поверхностях, характеризующихся постоянной отрицательной кривизной. Ряд причин стимулирует интерес к данной проблеме, и это несмотря на то, что конкретная экспериментальная реализация таких систем представляется весьма проблематичной. Прежде всего отметим, что соседние траектории на поверхностях с отрицательной кривизной разбегаются по экспоненциальному закону. Это делает подобные биллиарды идеальными объектами для изучения классического хаоса. Кроме этого, формула следа Селберга ( Selberg), определяющая плотность состояний в некоторых биллиардах с неевклидовой метрикой в терминах периодических орбит, является точной, а не приближенной, как формула Гутцвиллера, полученная для систем с евклидовой метрикой. Наконец, предполагается, что гипотетическая динамическая система, связанная с дзета-функцией Римана, в будущем может быть найдена именно среди биллиардов или рассеивающих систем, находящихся на поверхностях с постоянной отрицательной кривизной. [30]
Страницы: 1 2