Cтраница 3
Доказать, что сумма квадратов пяти последовательных целых чисел не может быть полным квадратом целого числа. [31]
Таким образом, мы видим, что если существует какой-то прямоугольный треугольник, катеты которого суть квадраты целых чисел, а гипотенуза равна целому числу, то существует и другой такой треугольник с меньшей гипотенузой. Повторяя то же самое рассуждение, мы построим цепь таких треугольников, гипотенузы которых делаются все меньше и меньше. Полученное противоречие и доказывает утверждение задачи. [32]
Таким образом, нечетное составное число дает по крайней мере два различных разложения на разность двух квадратов целых чисел. Можно доказать, что такими числами являются квадраты простых нечетных чисел. [33]
Lag-range, 1770), к-рый доказал, что каждое целое положительное число есть сумма четырех квадратов целых чисел. Little-wood), применив свой круговой метод, доказали, что для Jk n ( N) ПРИ k n2 - - i имеет место асимптотич. [34]
Существуют ли такие натуральные числа х и у, для которых х2 у и у2 х - квадраты целых чисел. [35]
Но можно доказать, что если натуральное нечетное число п дает только одно разложение на сумму двух квадратов целых чисел 0 ( если не считать различными разложения, отличающиеся только порядком слагаемых), причем в этом разложении слагаемые не имеют общего делителя 1, то п является простым числом. [36]
Впрочем, легко также доказать, что если нечетное число имеет только одно разложение иа разность двух квадратов целых чисел, то оно является простым. [37]
Fermat), утверждавшим, что всякое простое число вида 4fe - - l представимо суммой двух квадратов целых чисел. [38]
Доказать, что квадрат суммы п квадратов различных целых чисел, не равных нулю, есть сумма п квадратов целых чисел, каждое из которых отлично от нуля. [39]
В этом упражнении мы покажем, что число вида 4п 3 не может быть представлено как сумма двух квадратов целых чисел. [40]
Учитывая ( 2), докажите, что целое число вида 4п 3 не может равняться сумме двух квадратов целых чисел. [41]
Легко доказать, что ни одно натуральное число этого вида не может быть представлено в виде суммы двух квадратов целых чисел. Действительно, поскольку это число нечетное, то в случае 4k 3 х2 у2 целые числа х и у не могли бы быть оба четными или же нечетными. Таким образом, одно из них должно быть четным, а другое нечетным. Но квадрат четного числа при делении на 4 дает в остатке нуль, квадрат же нечетного - единицу. [42]
Тогда по теореме 20.9.7, коллинеация Ь является элацней, так как число п четно и не равно квадрату целого числа. Положим n1m, где число т нечетно. [43]
Но это возможно лишь в том случае, если последняя цифра числа п1 есть либо 8, либо 3, а никакой квадрат целого числа не оканчивается на эти цифры. [44]