Cтраница 3
В настоящей работе 2 22 и, - инвариантные решения уравнений треугольников интерпретируются как матричные аналоги эллиптических функций. В основном результаты этого параграфа известны и он служит для подготовки к § 2, где мы вводим матричный аналог сигма-функции Вейерштрасса. Она представляет собой целую матрицу-функцию с нулями в точках решетки L и заданными условиями квазипериодичности. [31]
С псевдопериодичностью дело обстоит иначе. Фактически мы определили ( и будем преимущественно использовать) псевдопериодичность слева. Можно показать, что если W 2га, то псевдопериодичность порядка не выше m справа и слева влечет квазипериодичность. [32]
Области периодичности имеют вид языков, подходящих сверху к линии J 1, а в промежутках между языками реализуются квазипериодические режимы. Бифуркация рождения тора из предельного цикла носит название бифуркации Неймарка. Дальнейшая эволюция аттрактора при изменении управляющего параметра может быть разнообразной и сложной, но в общем можно сказать, что реализуется та ситуация, о которой говорят как о переходе к хаосу через квазипериодичность. [33]
С топологической точки зрения квазипериодические режимы неустойчивы, а синхронные устойчивы: при фиксированном е и изменении г синхронные режимы наблюдаются на интервалах ту, а квазипериодические - в отдельных точках. Это означает, что квазипериодическое движение можно разрушить сколь угодно малым возмущением. Однако с вероятностной точки зрения квазипериодические режимы преобладают 11 поскольку, как было доказано Арнольдом [1961], при малых е мера Лебега всех интервалов синхронизации стремится к нулю при е - 0; это означает, что возмущения, разрушающие квазипериодичность, довольно маловероятны. [34]
На рис. 2.28 штриховой дугой, касающейся зеркала, изображена эквифазная поверхность расходящейся волны, движущейся по направлению к этому зеркалу. Эта же поверхность является эквифаз-ной и для сходящейся волны, движущейся уже от зеркала. Поэтому излучение волны, падающее на край зеркала и затем образующее сходящуюся волну, проходит между касающимися зеркала эквифазными поверхностями этих волн суммарное расстояние 2е, которое, как нетрудно убедиться ( подсчитав, исходя из геометрии резонатора, кривизны волн), равно Л экв - Таким образом, при изменении Л э к в на единицу разность фаз между расходящейся и порождаемой ею за счет краевой дифракции сходящейся волнами изменяется на 2тг, что и приводит к квазипериодичности свойств неустойчивых резонаторов. [35]
В-третьих, часто используются комбинаторные леммы, относящиеся к периодическим словам, строению периодических последовательностей и расположению периодических частей внутри слова. Целый параграф посвящен коллекции таких мелких, но полезных утверждений. Особое внимание уделено альтернативе псевдопериодичность - линейная упорядоченность относительно лексикографического порядка. Эта альтернатива основана на свойствах сдвиговой инвариантности периодических слов и квазипериодичности решений уравнения в словах uW - Ws. Ее осознание проясняет, в, частности, доказательства теорем о высоте, о независимости и о совпадении нильрадикала с радикалом Джекобсона в мономиальных алгебрах. [36]
Его присутствие только напоминало нам: метод работает, когда число ячеек достаточно велико. В дальнейшем мы проверим это положение на конкретных задачах, а сейчас заметим, что при практическом решении задач теории упругости число членов рядов асимптотического разложения должно быть конечным. При этом чем больше число ячеек периодичности ( или квазипериодичности), тем лучше выбранное приближение описывает решение исходной задачи. [37]
Причина такого вывода заключается в следующем. Такое состояние можно описывать конечным числом гармоник, которые получаются в результате разложения решения в ряд Фурье и обрезания ряда. Любой конечный ряд гармоник обладает свойством квазисимметрии. Если задача трехмерная, то она соответствует динамической системе с трехмерным фазовым пространством. Поэтому стохастичность линий тока должна возникать практически в любой общей ситуации трехмерных течений, характеризуемой квазипериодичностью. [38]
При плотностях атомов во фронте УВ, значительно превышающих плотность окружающего атмосферного воздуха, и при ио-низациях близких к полной однократной плазменная частота приближается к частоте излучений неодимового лазера 3 1014 Hz, и следовательно, фронт УВ действует как отражатель для воздействующего лазерного излучения, изменяя направление его распространения. Отраженное излучение не обладает достаточной интенсивностью для испарения невозмущенного материала покрытия. Однако в покрытии распространяются температурные возмущения, приводящие к возникновению температурных напряжений. У металлов В напряженных состояниях возрастает коэффициент поглощения излучениями. Испарение покрытия локализуется на участках с максимальной амплитудой термомеханических напряжений. Дальность распространения ППС вблизи линии гравировки 10 - 15 мкм соответствует дальности распространения тепловых возмущений в пленке по теплопроводностному механизму. Остается под вопросом причина устойчивой квазипериодичности структур. Наиболее вероятным представляется возникновение автоколебаний с периодом порядка или несколько менее 10 не при взаимодействии плазмы на фронте УВ с лазерным излучением. Последнее приводит к высокоамплитудной модуляции отражательной способности УВ на длине волны 1 06 мкм с частотой автоколебаний. [39]