Конечно-разностная аппроксимация - уравнение
Cтраница 2
Выписав выражение, аналогичное (3.14), для второй производной, но уже по координате у, можно получить искомую конечно-разностную аппроксимацию уравнения Лапласа на неравномерной сетке. Поэтому в областях с быстрым изменением полей предпочтение следует отдать густым равномерным сеткам; там, где изменение полей более медленное - тоже равномерным, но редким. Тогда неравномерная сетка появляется лишь в переходных областях. [16]
 |
Схема индексации узлов, смежных с (, / - м узлом сеточной области. [17] |
Их отличия определяют различную точность аппроксимации исходного уравнения, различную сложность процедур численного решения. Наиболее точные конечно-разностные аппроксимации уравнения (1.103) приводят к более трудоемким вычислениям, а некоторые допущения в приближении (1.103) дают возможность значительно снизить затраты машинного времени на проведение необходимых расчетов. Имеющиеся ограничения на быстродействие и объем памяти современных ЭВМ приводят к необходимости сведения к минимуму количества вычислительных операций при достижении требуемой точности прогнозных расчетов. [18]
В главе 3 рассмотрено численное моделирование процессов нестационарной динамики балок, пластин и оболочек при больших деформациях, неупругом поведении материала и динамическом контактном взаимодействии с жесткими преградами. Введено понятие энергетически согласованных конечно-разностных аппроксимаций уравнений движения для обобщенных усилий и представлений обобщенных скоростей деформаций через узловые скорости и перемещения. Получены решения конкретных задач динамического деформирования и удара пластин и оболочек о жесткие преграды. [19]
В ряду приближенных важное значение имеют численные методы решения уравнений поля, особенно широко применяется метод конечных разностей. С развитием вычислительной техники растет популярность методов расчета электромагнитных полей на основе конечно-разностной аппроксимации непрерывных уравнений самого различного вида. [20]
В сущности, это означает, что при наличии объема памяти ЭВМ, достаточного для хранения обратной матрицы А и выполнения самой процедуры обращения, определение узловых потенциалов этим методом может быть выполнено существенно быстрее, чем методом релаксации либо итерации. Основные погрешности, возникающие в данном методе: во-первых, процедура округления из-за ограниченной длины слова в ЭВМ и, во-вторых, ошибки, обусловленные самой конечно-разностной аппроксимацией уравнений в частных производных. Погрешности, связанные с выбором числа итерационных циклов и возникающие в методах релаксации или итерационном, здесь отсутствуют. [21]
В основе предлагаемого численного алгоритма решения уравнений нелинейной динамики балок лежит модифицированная конечно-разностная схема типа крест. От непрерывной системы - балки ( пластины) - производится переход к многопараметрической или конечно-разностной модели в два этапа. Первый этап состоит в конечно-разностной аппроксимации дивергентных уравнений движения в усилиях и моментах (3.1.1), что эквивалентно использованию интегро-интерполяционного подхода в аппрокси-мационной записи уравнений сохранения импульса при разбиении балки на К элементов-звеньев. [22]
Для узлов нулевого ряда / 0 из начального условия следует и ( г, 0) и0 ( г) - Замена дифференциального уравнения разностным дает связь значений функции и в нашем случае в четырех или пяти узлах. Например, для схемы, приведенной на рис. 1.12, а, если известны значения и во всех точках / - го горизонтального ряда ( из начального условия или из расчетов на предыдущих шагах), то значения в узлах / 1 ряда вычисляются явным образом из конечно-разностной аппроксимации уравнения. То же относится к схеме на рис. 1.12, в. Для схемы на рис. 1.12, б уравнение (1.82) связывает не одну точку ряда j 1, а три. Такая схема называется неявной. При использовании неявных схем нужно решать систему уравнений. [23]
При проектировании конструкций БИС, предназначенных для работы на подвижных объектах, необходимо выполнять расчеты, связанные с определением запасов прочности конструкции, резонансных частот, а также нагрузок, воздействующих на элементы конструкции. В общем случае подобные задачи относятся к трехмерным краевым задачам теории упругости, решение которых в аналитическом виде возможно при определенных упрощениях. Один из таких методов основан на конечно-разностной аппроксимации уравнений в частных производных с использованием пространственной математической сетки. Аналогичный подход рассмотрен выше при составлении моделей электрических и магнитных полей. [24]
 |
Пример решения конечно-разностных уравнений методом итераций. [25] |
Отметим, что найденное значение потенциала в одном из внутренних узлов сразу же используется для отыскания потенциала в соседнем узле. Данная процедура повторяется для каждого из узлов обычно до тех пор, пока два следующих друг за другом приближения не совпадут с требуемой точностью, либо пока полная емкость исследуемой структуры не достигнет некоторого стационарного значения. На рис 3.3 вычисленные на каждом шаге итерации значения потенциала в каждом из узлов сетки выписаны вдоль диагоналей соответствующих квадратов. Как видно, эти значения постепенно сближаются, так как разность между ними уменьшается. Необходимо отметить, что все расчеты потенциалов в узлах проводятся с числами, имеющими ограниченное число десятичных разрядов. В результате появляется дополнительная погрешность округления, которая добавляется к погрешности, возникающей при конечно-разностной аппроксимации уравнения в частных производных. [26]
Весьма привлекательной особенностью многослойных моделей является их относительная простота. Кроме того, как было показано в разд. Поэтому с той же степенью достоверности, с какой справедливо геострофическое приближение, полученные в рамках многослойных моделей результаты могут с увереа-ностью использоваться при анализе динамики реальной физической системы. Эт о дает возможность постановки простых, но математически и физически корректных проблем, представляющих интерес для геофизики. Ясно, однако, что, имея самостоятельное физическое значение, многослойные системы вводятся как динамические модели непрерывной системы. Действительно, из результатов вычислений для волн Рос-сби, проведенных в предыдущем разделе, с очевидностью вытекает, что движения в многослойных моделях эквивалентны некоторому подклассу возможных движений в непрерывной модели. В настоящем разделе мы рассмотрим соотношение между многослойными моделями, точно описывающими очень простые, идеализированные системы, и так назьшаемыми многоуровенными моделями, представляющими собой конечно-разностную аппроксимацию уравнения потенциального вихря для непрерывно-стратифицированной жидкости. [27]
Страницы: 1 2