Cтраница 3
Переносы в геометрии Минковского образуют транзитивную абе-лепу группу, а из результата Понтрягина ( [1], стр. Q-пространство с абе-левой группой движений локально должно быть пространством Мин-ковского. Так как этот результат весьма важен для теории 0-про-странств, желательно установить его, пользуясь нашими методами. Это легко можно выполнить с помощью наших результатов, относящихся к пространствам неположительной кривизны. [31]
Метрика Минковского в А конечно-компактна п М - выпукла. Пространство Минковского является Q-пространством и, следовательно, прямым пространством тогда и только тогда, когда сферы строго выпуклы. [32]
Выше было показано, что расчет на ползучесть в пространстве главных обобщенных сил как при установившейся ползучести, так и в переходном режиме дает результаты, достаточно хорошо согласующиеся с решением в пространстве напряжений. В то же время определение перемещений в Q-пространстве и расчет напряжений по этим перемещениям снижают трудоемкость решения на полтора-два порядка по сравнению с трудоемкостью решения в сг-пространстве. [33]
В частности, § 37 посвящен теории параллельных и показывает, например, что неположительность кривизны обусловливает симметрию и транзитивность отношения асимптотичности. Затем мы устанавливаем тот фундаментальный факт, что Q-пространство с иыпуклыми оболочками и свойством инвариантности областей имеет прямое универсальное накрывающее пространство. В § 39 мы получаем предложения относительно фундаментальных групп пространств с выпуклыми оболочками, например: абелева подгруппа ( содержащая больше чем один элемент) фундаментальной группы 0-пространства со строго выпуклыми оболочками и инвариантностью областей - бесконечная циклическая. Наконец ( § 41), мы показываем, что для римановых пространств неположительная кривизна в классическом смысле, в нашем смысле и выпуклость оболочек равнозначны и также, что на поверхностях Финслера инвариант, называемый там кривизной, неположителен, если оболочки выпуклы. Кроме того, некоторые хорошо известные неравенства для объема шара и площади сферы распространяются на пространства Финслера. [34]
Пусть далее удалось подобрать такую аналитическую зависимость uf ( Qi), которая, будучи проинтегрирована, достаточно хорошо совпадает с данными физического и математического экспериментов. В таком случае полученное в пространстве обобщенных сил ( Q-пространстве) решение никак не связано с предположением о характере распределения напряжений. Эти два решения являются независимыми. [35]
В табл. 7.3 - 7.5 приведены расчетные и экспериментальные данные, а на рис. 7.11 дано графическое сопоставление эксперимента и расчета. Анализ полученных результатов свидетельствует о достаточно высокой точности определения перемещений с использованием Q-пространства. [36]
Энтропия этой системы задается функцией всех параметров Q. Предположим, что система является замкнутой, тогда она будет двигаться вдоль пути реакции в Q-пространстве, пока не достигнет точки равновесия с максимальной энтропией. [37]
Всюду дальше мы будем отождествлять простое подполе поля Ф с полем Q рациональных чисел. Пусть, как и раньше, ф - пространство, сопряженное к §, и пусть ф обозначает Q-пространство, натянутое на корни. [38]
При такой постановке вопроса решение в Q-пространстве не включает в себя никакой информации о распределении напряжений, но при вычислении напряжений а ( Уг, t) результаты Q-решения могут быть использованы. Если считать, что функции uf ( xt, t) известны ( точнее, получены из решения в Q-пространстве), то каждое отдельное сечение работает как бы в режиме заданных перемещений, и вычисление Дсг - не представляет трудностей. Таким путем могут быть построены функции atj ( yi - t) отдельно для любого конкретного сечения. [39]
Это связано с тем, что значения q kT / hciui вообще не имеют физического смысла. Функция р ( е) всегда вырезает в Q-пространстве по крайней мере одно состояние. [40]
Предположение о том, что всякая Са - полугруппа в L, равномерно непрерывна, было высказано Байоном. Кисимото и Робинсон Kishimoto, Robinson [ 19811 показали, что каждая позитивная С - полугруппа в L, равномерно непрерывна. А в работах Lotz [ 19851 и СопШон [ 19841 было независимо доказано, что всякая позитивная С0 - полугруппа в С ( / Q-пространстве Гротендика равномерно непрерывна. [41]
Применение шагового метода в пространстве напряжений требует для определения приращения перемещения Дм - вычисления напряжений в ряде точек каждого сечения. Применение же рассмотренного приема для определения приращений Д л - в пространстве обобщенных сил уменьшает трудоемкость расчета одного сечения на порядок и более, так как позволяет рассматривать даже одну точку. Кроме того, в случае сложных плоских или пространственных трубопроводных систем решение в сг-пространстве предполагает вычисление приращений напряжений в ряде сечений, в том числе и в тех, которые не являются опасными. Рассмотрение же процесса ползучести в Q-пространстве дает возможность определять напряжение только в опасных точках опасных сечений. [42]
Теория пространств Минкопского была развита за последнее иремя очень далеко, однако в другом направлении. В конце гланы мы исследуем другое дезаргопо пространство, которое было указано Гильбертом. Оно доставляет ценный пример для исследования свойств параллельных и для изучения пространств неположительной кривизны. Эта метрика используется также для построения Q-пространства в заданном открытом выпуклом подмножестве Ап с обыкновенными прямыми в качестве геодезических. [43]
При рассмотрении геометрии Минковского мы видели, что понятие перпендикулярности не должно быть симметричным. Мы можем сказать, что Н есть опорная прямая для К ( х, /) и ожидать, что в прямых пространствах существование перпендикуляров связано с выпуклостью сфер. Действительно, эти условия эквивалентны. В § 20 мы сначала кратко разбираем локальную выпуклость множеств в Q-пространстве, затем также локально - отношение выпуклости сфер к единственности основания точки на сегменте. Затем мы применяем эти результаты к прямым пространствам и находим, что другими эквивалентными условиями выпуклости сфер являются: безвершинный характер функции рх (), где JC ( T) представляет прямую2); существование не более чем двух точек пересечения сферы с прямой. [44]
Положим, что 0-пространство R симметрично и компактно. Из (49.6) и (52.4) следует, что группа Г всех движений пространства R является группой Ли и что R является топологическим многообразием. Существует риманова метризация R пространства R, инвариантная относительно преобразований группы Г ( см. Картан [3], стр. Таким образом, в случае компактности все результаты Картана относительно структуры симметрических ( в целом) пространств переносятся на Q-пространства. Заметим, что локально середины т ( х, у) сегментов, соединяющих х и у, в пространствах R и R совпадают; следовательно, геодезические этих пространств совпадают, и вдоль каждой геодезической расстояния в R и R отличаются лишь на множитель, зависящий, вообще говоря, от геодезической. [45]