Cтраница 3
От счета с помощью камешков ведут свое начало различные усовершенствованные инструменты, как, например, русские счеты, китайские счеты сван-пан, древнеегипетским абак ( доска, разделенная на полосы, куда клались жетоны. [31]
Тогда для всякого х абак, изображенный на приводимом в этом абзаце графе, запущенный с х камешками в регистре RI, останавливается в точности тогда, когда абак с номером х, запущенный с теми же х камешками в RI, не останавливается вовсе, - причем в каждом случае все регистры, кроме R, предполагаются первоначально пустыми. [32]
В результате выполнения первого и второго шагов нашего метода граф-схема абака преобразуется в объект, не являющийся в точности граф-схемой машины Тьюринга, вычисляющей те же функции, что и данный абак. Граф может оказаться неполноценным в двух отношениях. Во-первых, если данный абак когда-либо останавливается, в нем должны быть одна или несколько холостых стрелок - стрелок, не ведущих ни в какую вершину. [33]
Установив стандартные правила для вычислений обоих типов, мы можем вернуться к проблеме построения метода, позволяюше-го граф-схему произвольного абака А, в котором яшик п выделен для хранения значений функций, превращать в граф-схему машины Тьюринга, вычисляющей те же функции: для каждого г эта машина Тьюринга вычисляет ту же функцию ЛЦ от г аргументов, что и данный абак. Наш метод описывает машину Тьюринга, граф-схемой которой следует заменить каждую вершину типа п в граф-схеме данного абака вместе с выходной стрелкой этой вершины, некоторую машину Тьюринга, граф-схемой которой следует заменить каждую вершину типа п - вместе с ее двумя выходными стрелками, и, наконец, машину Тьюринга, которая в конце работы стирает на ленте все, кроме n - го блока единиц, и останавливается, считывая самую левую из оставшихся единиц. [34]
К первым вычислительным приборам относится абак - прибор для - выполнения сложения. Абак использовался очень широко и в Греции, и в Римской империи. Греческий абак представляет собой доску, разделенную на ряд вертикальных полос. В каждой полосе раскладывалось столько камушков, сколько ими хотели обозначить единиц в соответствующем разряде. Позднее камушки были заменены жетонами, на которых стали писать цифры. [35]
ЛЕОНАРДО ПИЗАНСКИЙ ( Leonardo Pisano), Фибоначчи ( Fibonacci) ( 1180 - 1240), итал. Книга абака ( 1202) первым систематически изложил достижения араб, математики, чем способствовал знакомству с ними в Зап. [36]
ЛЕОНАРДО П яванский ( Leonardo Pisano), Фибоначчи ( Fibonacci) ( 1180 - 1240) - итальянский математик. Книга абака ( Liber Abaci, 1202) - трактат об арифметике ( индийские цифры, числа Фибоначчи) н алгебре ( до квадратных уравнений включительно), Практика геометрии ( Practice Geometriae, 1220); они являются первыми произведениями, содержащими задачи на приложение алгебры к геометрии. [37]
Римская система счета имеет общие черты с шумерской, египетской и восходит к первобытной. Вычислительный инструмент - абак, заимствованный греками из Египта, - получил распространение и в Риме. [38]
Эти обстоятельства объясняют появление специального счетного прибора, называемого абаком. Историки полагают, что абак был походным инструментом купцов, поскольку значения, приписываемые камешкам в различных желобках, соответствовали различным денежным единицам. [39]
Точных доказательств применения вычислительного инструмента в Вавилоне не имеется. Есть предположение о наличии абака или его аналога [ 33, с. [40]
История развития счета уходит в глубь веков. К первым вычис - лительным приборам относится абак - прибор для выполнения сложения. Абак использовался очень широко в Греции и в Римской империи. [41]
Точка С расположена в пересечении с ребром абака вторичной проекции лучей, касательных к колонне. [42]
Если абак, в начале работы которого все его регистры пусты, никогда не останавливается, то его продуктивность считается равной нулю; в противном случае его продуктивностью считается количество камешков в RI, когда он останавливается. Пусть р ( п) равно продуктивности самого продуктивного абака с п вершинами. Докажите, что функция р не вычислима на абаках. [43]
Но, полагая х т, мы видим, что абак с номером т, запущенный с т камешками в регистре RI и всеми остальными пустыми регистрами, останавливается тогда и только тогда, когда он не делает этого. Значит, такого абака не существует, а потому никакой абак не вычисляет функцию h и проблема остановки абаков неразрешима. [44]
Подобным же образом стандартные правила вычисления на машинах Тьюринга ставят в соответствие каждой машине Тьюринга определенную функцию, аргументы которой и сама функция принимают положительные целые значения, стоит лишь задать число г ее аргументов. Отметим, что если мы стандартным образом зададим граф-схему абака А, то для каждого его регистра п, который можно назначить для хранения результата вычислений, существует бесконечно много функций Атп, вычисляемых данным абаком - по одной для каждого возможного числа аргументов. [45]