Cтраница 3
Разностную схему, аппроксимирующую задачу со временем, называют экономичной, если она безусловно устойчива и при переходе от слоя к слою требуется количество арифметических операций, пропорциональное числу узлов на слое. Иногда условие безусловной устойчивости в определении экономичной схемы отсутствует. Из определения следует, что чисто неявная схема для одномерного уравнения теплопроводности является экономичной. [31]
Выражения 2а и - D многократно встречаются в записи формул. Поэтому их значения вычисляют в алгоритме один раз с помощью команд присваивания k: 2a, m: - / TO [, что позволяет уменьшить количество арифметических операций. [32]
Для каждой из групп методов характерны свои специфические особенности. Наиболее важными из них для явных методов являются, во-первых, неустойчивость численного интегрирования при величине шага, превышающей некоторое критическое значение / гкр, и, следовательно, большое число шагов при численном решении ( 1.8 а), во-вторых, сравнительно малый объем вычислений на одном шаге, который будем оценивать количеством арифметических операций умножения и деления NT В неявных методах можно избежать численной неустойчивости. Тогда величина шага ограничивается заданной погрешностью решения eg и может быть значительно большей, чем в явных методах. Общее количество шагов интегрирования Ш на заданном интервале решения [ О, Гкон ] в неявных методах будет заметно меньше. [33]
Метод наименьших квадратов, примененный при табличном задании координат точек профиля, может, конечно, быть использован также при рассмотренных выше случаях задания конфигурации детали и особенно при оценке точности аппроксимации. Несмотря на некоторую громоздкость выкладок, схема вычислений по методу наименьших квадратов получается сравнительно простой и легко реализуемой на вычислительных машинах. Правда, количество арифметических операций на первом этапе подготовки информации несколько увеличено по сравнению с рассмотренными ранее методами. Но этот недостаток искупается большей универсальностью метода наименьших квадратов. [34]
В последние годы появилось значительное число работ по применению дискретного метода Фурье для решения конечно-разностных уравнений. Следует отметить, что метод Фурье применялся для решения разностных уравнений и раньше, но, как правило, только в очень редких случаях. Это объясняется тем, что по количеству арифметических операций, необходимых для решения задачи, дискретный метод Фурье уступал другим методам, как прямым, так и итерационным. Дело в том, что большая часть работы приходилась на расчет системы собственных функций, а затем ча нахождение коэффициентов ряда Фурье и его суммы. [35]
В связи с этим в первую очередь следует отметить метод Фурье, который применялся для решения разностных уравнений и раньше, но, как правило, в очень редких случаях. Это объясняется тем, что по количеству арифметических операций, необходимых для решения задачи, дискретный метод Фурье уступает другим методам: большая часть работы приходилась на расчет системы собственных функций, а затем - на нахождение коэффициентов ряда Фурье и его суммы. [36]
Методы первой группы могут сравниваться по скорости сходимости и предельным значениям получаемых оценок коэффициентов, методы второй группы - по степени адекватности модели объекту в текущий момент времени. Кроме того, методы обеих групп могут сравниваться по помехозащищенности. К количественным характеристикам можно отнести объем памяти вычислительной машины требуемый для реализации метода, и количество арифметических операций, производимых при расчете. Последний показатель характеризует затраты машинного времени. [37]
Поэтому для того, чтобы их сравнивать, необходимо выбрать один или несколько критериев, по которым будет проводиться сравнение. Условимся критерием качества метода считать количество арифметических операций, которые необходимы либо для получения точного решения, либо для получения решения с некоторой заданной точностью. Так как часто не удается вычислить точное число арифметических операций либо этот подсчет достаточно громоздок, оценивают лишь порядок числа арифметических операций по отношению к числу узлов сетки. [38]
В большинстве случаев параметр, по значению которого осуществляется сортировка ( ключ сортировки), является результатом работы одного из тестов принадлежности или видимости. Как показывает статистика ( рис. 5.35), эти тесты дают основной вклад в общее время выполнения алгоритмов. Поэтому, хотя сортировка является основной операцией в большинстве алгоритмов удаления невидимых поверхностей, эффективность схемы сортировки самой по себе не оказывает существенного влияния на общее время выполнения алгоритма. Время, занимаемое сортировкой, входит во время, затрачиваемое организационной частью алгоритма, которое в свою очередь составляет лишь малую долю суммарного времени. Значительный выигрыш во времени можно получить, уменьшив количество медленных арифметических операций, требуемых для вычисления пересечений, выполнения тестов принадлежности и тестов видимости, например, путем выполнения операций предварительной сортировки, основанных на простых логических функциях и функциях отношения. [39]
В большинстве случаев параметр, по значению которого осуществляется сортировка ( ключ сортировки), является результатом работы одного из тестов принадлежности или видимости. Как показывает статистика ( рис. 5.35), эти тесты дают основной вклад в общее время выполнения алгоритмов. Поэтому, хотя сортировка является основной операцией в большинстве алгоритмов удаления невидимых поверхностей, эффективность схемы сортировки самой по себе не оказывает существенного влияния на общее время выполнения алгоритма. Время, занимаемое сортировкой, входит во время, затрачиваемое организационной частью алгоритма, кото рое в свою очередь составляет лишь малую долю суммарного времени. Значительный выигрыш во времени можно получить, уменьшив количество медленных арифметических операций, требуемых для вычисления пересечений, выполнения тестов принадлежности и тестов видимости, например, путем выполнения операций предварительной сортировки, основанных на простых логических функциях и функциях отношения. [40]
Компьютер - это устройство, способное производить вычисления, а также выполнять действия по принятию логических решений со скоростью в миллионы или даже миллиарды раз быстрее, чем человек. Например, большинство современных персональных компьютеров могут выполнять десятки миллионов арифметических операций в секунду. Человеку с калькулятором в руках потребуется несколько месяцев, чтобы выполнить такой же объем работы, какой персональный компьютер производит за одну секунду. Вопрос: как вы узнаете, правильно ли человек складывает цифры. Как вы узнаете, правильно ли компьютер складывает цифры. Сегодняшние самые быстрые суперкомпьютеры могут выполнять сотни миллиардов сложений в секунду - то есть такое количество арифметических операций под силу выполнить лишь сотням тысяч человек в течение года. А в исследовательских лабораториях уже работают компьютеры с быстродействием триллион операций в секунду. [41]