Cтраница 3
Согласно [75]: Именно количество действия является истинной тратой природы; и именно оно [ количество действия ] выгадывается как можно менее при движении. Эйлер утверждал: Так как здание всего мира совершенно и выведено премудрым творцом, то в мире не происходит ничего, в чем бы не был виден смысл какого-нибудь максимума или минимума; поэтому нет никакого сомнения, что все явления мира с таким же успехом можно определить из причин конечных при помощи метода максимумов и минимумов, как из самих причин производящих. [31]
Формулировка принципа наименьшего действия, данная Мопертюи, не говорит ничего другого, кроме того, что количество действия, употребленное на происходящие в природе изменения, всегда является минимальным. Следовательно, строго говоря, она вообще не дает никакого заключения о законах изменения. Ибо до тех пор, пока не установлены условия, которым должны быть подчинены возможные изменения, еще ничего не сказано о том, какие изменения должны быть сравниваемы между собой. Мопертюи не хватило аналитической критики для того, чтобы ясно увидеть этот пробел. Эйлер, который в отстаивании принципа стоял на стороне своего коллеги и друга и, во всяком случае, как математик значительно превосходил Мопертюи, не смог добиться ясной формулировки принципа. [32]
Значение именно этого интегрального выражения и должно быть наименьшим, потому что оно содержит полную сумму всех количеств действия сил на все частицы жидкой массы. Отсюда легко получить следующее общее правило для нахождения состояния равновесия какого-либо тела, находящегося под действием каких-либо сил: Следует умножить каждый элемент тела на количество действия сил, которые на него действуют; интеграл этого произведения, который будет полным количеством действия на все тело, должен быть минимумом. Всякий, кто поймет значение понятия количества действия сил на одну точку, которое я только что обосновал при помощи весьма веских доводов, согласится без труда с тем, что во всех случаях равновесия сумма всех количеств действия должна быть наименьшей. [33]
После того как найдено таким образом количество действия на элемент ХхтМ, равное Udx, ясно, что количество действия на всю площадь СХМА будет равно J Udx. Следовательно, это количество f U dx должно быть наименьшим между всеми формами, которые эта площадь могла бы принять; дело идет, следовательно, о том, чтобы найти среди всех фигур с одной и той же площадью J у dx такую, для которой значение выражения J Udx - наименьшее. [34]
Общая теория алгебраических действий распадается на ряд алгебраических дисциплин, каждая из которых занимается множествами с тем или иным количеством действий, с теми или иными условиями, связывающими эти действия между собою, и с дополнительными условиями, налагаемыми на эти действия. Теория множеств с одним действием разбивается на ряд частных теорий, отличающихся друг от друга тем, что каждая из них обладает некоторыми основными свойствами. Какие из возможных свойств взять в качестве основных и тем самым на какие разделы разбивать общую теорию - это, конечно, зависит в значительной степени от фактического состояния науки в данный момент. С течением времени границы могут изменяться. [35]
Если бы N ( r ] была близка к постоянной величине, то это бы означало равенство в количестве действий индивидов. Однако многочисленные исследования социальных психологов показывают, что в частоте действий индивидов наблюдаются значительные различия. В реальных группах действия распределены неравномерно среди их членов. [36]
Метафизика же отнюдь не достигла такой степени совершенства, чтобы для каждого действия, производимого природой, указать то количество действия, которое является наименьшим; мы еще очень далеки от этого, и поэтому почти совершенно невозможно отыскать для большого числа различных случаев формулы, которые будут иметь максимум или минимум. Напротив, если известно решение, найденное прямым методом, то не представляет труда угадать формулы, которые приведут к тому же самому решению, если отыскать их максимум или минимум. [37]
Об относительной эффективности различных методов развертывания векового определителя можно судить по приведенной ниже таблице 26 [4], в которой указаны количества действий, требуемых каждым из рассмотренных методов, в зависимости от порядка определителя. [38]
Деление при повторяющемся делителе применяется в случае, когда в ряде деления делителем является одно и то же число и количество действий уделения небольшое. [39]
В этом состоит сложение и разложение сил, которое является основой всей статики; отсюда видно, что один принцип количества действия составляет фундамент этой науки. [40]
Метафизика же отнюдь не достигла та-200 1 Kog степени совершенства, чтобы для каждого действия, производимого природой, указать то количество действия, которое является наименьшим; мы еще очень далеки от этого, и поэтому почти совершенно невозможно отыскать для большого числа различных случаев формулы, которые будут иметь максимум или минимум. Напротив, если известно решение, найденное прямым методом, то не представляет труда угадать формулы, которые приведут к тому же самому решению, если отыскать их максимум или минимум. [41]
Даже не рассматривая вопроса о подлинности этого письма, надо при-знать что здесь отнюдь не сформулирован универсальный закон Мопертюи о минимуме количества действия. На это указывает и оговорка обычно и указание на максимум или минимум. Возможно, что именно потому, что Лейбниц не мог найти условий обязательности для действия быть минимумом, он не опубликовал своих соображений, довольно естественно связанных с исследованием экстремальных задач, например брахистохроны. [42]
Для движения mvs minimum, а в случае равновесия положение тела таково, что когда ему сообщено малое движение, то произведенное этим количество действия оказывается минимальным. [43]
Следует признаться, что я еще не вижу достаточно ясно, каким образом рассмотрение пройденного за данное время расстояния должно войти в определение количества действия; я хотел бы знать, бывают или нет такие случаи, когда пространство не пропорционально скорости. Из тех примеров, к которым Вы применяете это правило, я вижу, что это пространство всегда выражено самой скоростью таким образом, что количество действия, которое вызывает изменение движения, становится равным произведению массы на квадрат скорости; если бы это имело место всегда, я думаю, что дело стало бы более ясным, если принять во внимание, что вместо пространства можно всегда брать собственно скорость. Ведь если бы имелись случаи, когда это не разрешается ( если бы изменение не происходило равномерным движением или пространство, пройденное в какое-то время, могло быть не пропорционально скорости), разве не уместно было бы их упомянуть. Или, во всяком случае, разве не одно и то же, сказать, что следует брать пространство, разделенное на время; мне кажется, что это более точно сказано, потому что одно только слово время без определения его количества может иногда оставить некоторую неуверенность при применении. [44]
Даже оставив в стороне вопрос о подлинности этого письма, надо признать, что здесь отнюдь не сформулирован универсальный закон Мопертюи о минимуме количества действия. На это указывает и оговорка обычно, и указание на максимум или минимум. Возможно, именно потому, что Лейбниц, не мог найти условий того, чтобы действие имело экстремум, он не опубликовал своих соображений и, во всяком случае, Мопертюи их не знал. [45]