Cтраница 1
Та обобщенная арифметика, которую мы выберем, имеет более сложную арифметическую структуру, но зато она предназначена для непосредственного представления грамматической и логической структуры формальных объектов. Объекты, принадлежащие этой обобщенной арифметике, мы будем называть вещами. [1]
Для обобщенной арифметики определение вещи является фундаментальным индуктивным, определением. Им устанавливается область объектов для этой арифметики. [2]
Термы обобщенной арифметики - это выражения, могущие служить аргументами ее предикатов; мы не вводим оператора iw для обобщенной арифметики. [3]
Предоставим читателю в обобщенной арифметике построить эту функцию и убедиться в том, что § y y ( g ( Z, у), 10) - откуда, в силу разрешимости предиката 83х у ( 2, да) и ( ср. [4]
Именно поэтому в обобщенной арифметике действуют законы обычной алгебры, в том числе и правила матричного умножения. [5]
Этим заканчивается определение нашей обобщенной арифметики как области абстрактных объектов, которые узнаются и различаются друг от друга по способу их порождения. [6]
Действительно, пользуясь словесным рассмотрением обобщенной арифметики, как в гл. [7]
Мы будем считать, что в нашей обобщенной арифметике имеется только конечное число допустимых значений s ( см. стр. [8]
Теперь мы рассмотрим формализм рекурсивных функций в виде обобщенной арифметики описанного в § 50 рода. [9]
При этом переходе от формальной лингвистической системы к обобщенной арифметике мы произвели две перемены, каждую из которых можно было бы произвести в отдельности. Первая из них относится к структуре, которая приписывается формальным объектам. В лингвистическом представлении термы и формулы были конечными последовательностями формальных символов, в которых существенные части распознавались как подпоследовательности, тогда как в обобщенной арифметике они строятся непосредственно из таких существенных частей при помощи обобщенной операции следования. В обобщенной арифметике разложение выражений на их существенные части ( включая употребление скобок) переносится из формальной области в область изложения метаматематики, где мы перестаем заботиться об этой проблеме. [10]
Арифметизация метаматематики будет закончена в § 52 путем отображения обобщенной арифметики в обычную арифметику натуральных чисел. Оба результата будут вытекать из того, что некоторые арифметические предикаты, получающиеся путем отображения из метаматематических предикатов, являются примитивно-рекурсивными. [11]
Суть этого доказательства состоит в том, что примитивные рекурсии обобщенной арифметики переходят в возвратные рекурсии обыкновенной арифметики, ибо геделев-ская нумерация сохраняет отношение порядка, хотя и нарушает отношение непосредственного следования. [12]
Однако вместо непосредственного проведения арифметизадии мы сначала представим нашу формальную систему промежуточным образом в виде обобщенной арифметики, а затем отобразим эту обобщенную арифметику в обычную. Это приведет к некоторым эвристически полезным аналогиям; кроме того, представление системы в виде обобщенной арифметики имеет и самостоятельный интерес. [13]
Чтобы формализовать переход от ( iv) к ( v), достаточно провести соответствующее содержательное рассуждение в аксиоматизированной обобщенной арифметике. При этом выгодно воспользоваться упрощением Хазенъегера - Хенкина, см. сноску на стр. [14]
Термы обобщенной арифметики - это выражения, могущие служить аргументами ее предикатов; мы не вводим оператора iw для обобщенной арифметики. [15]