Cтраница 2
Однако вместо непосредственного проведения арифметизадии мы сначала представим нашу формальную систему промежуточным образом в виде обобщенной арифметики, а затем отобразим эту обобщенную арифметику в обычную. Это приведет к некоторым эвристически полезным аналогиям; кроме того, представление системы в виде обобщенной арифметики имеет и самостоятельный интерес. [16]
Почему эти результаты имеют место и должны сохранять силу для любой формальной системы аналогичной структуры-это становится интуитивно ясным из рассмотрения природы определений упомянутых метаматематических предикатов в обобщенной арифметике. [17]
Затем нефундаментальные индуктивные определения, например, терма, формулы и доказуемой формулы, применяются к объектам, уже известным в качестве вещей. Можно спросить в обобщенной арифметике, принадлежит ли данная вещь этому подклассу, и можно сопоставить с этим подклассом предикат, принимающий значение t для вещей, принадлежащих этому подклассу, и значение f для вещей, ему непринадлежащих. [18]
Та обобщенная арифметика, которую мы выберем, имеет более сложную арифметическую структуру, но зато она предназначена для непосредственного представления грамматической и логической структуры формальных объектов. Объекты, принадлежащие этой обобщенной арифметике, мы будем называть вещами. [19]
Условимся считать ( это не единственное целесообразное соглашение), что объекты, различными способами порожденные из основных, обязательно различны. Имеется несколько способов представления формальной системы в виде обобщенной арифметики. [20]
Однако вместо непосредственного проведения арифметизадии мы сначала представим нашу формальную систему промежуточным образом в виде обобщенной арифметики, а затем отобразим эту обобщенную арифметику в обычную. Это приведет к некоторым эвристически полезным аналогиям; кроме того, представление системы в виде обобщенной арифметики имеет и самостоятельный интерес. [21]
Мы не устанавливаем, какого рода структуру должна иметь область формальных объектов. Это можно понимать в том смысле, что каждый Y может быть порожден из конечного числа начальных объектов посредством конечного числа применений установленных операций, как при нашем понимании обобщенной арифметики ( § 50), или в том смысле, что каждый Y может быть задан в виде фигуры, составленной из конечного числа вхождений символов из некоторого предварительно данного перечня символов. [22]
Мы будем рассматривать формальную систему S, которая получается присоединением к системе гл. IV оператора tw ( см. § 74), но наши рассуждения без затруднений переносятся на случай, когда система 5 содержит в конечном числе дальнейшие функциональные и предикатные символы и аксиомы. Эта система методом § 50 погружается в обобщенную арифметику, причем t надлежит рассматривать как новый ( четырнадцатый) нуль; таким же образом надлежит рассматривать упомянутые выше дальнейшие функциональные и предикатные символы, если таковые имеются. [23]
При этом переходе от формальной лингвистической системы к обобщенной арифметике мы произвели две перемены, каждую из которых можно было бы произвести в отдельности. Первая из них относится к структуре, которая приписывается формальным объектам. В лингвистическом представлении термы и формулы были конечными последовательностями формальных символов, в которых существенные части распознавались как подпоследовательности, тогда как в обобщенной арифметике они строятся непосредственно из таких существенных частей при помощи обобщенной операции следования. В обобщенной арифметике разложение выражений на их существенные части ( включая употребление скобок) переносится из формальной области в область изложения метаматематики, где мы перестаем заботиться об этой проблеме. [24]
При этом переходе от формальной лингвистической системы к обобщенной арифметике мы произвели две перемены, каждую из которых можно было бы произвести в отдельности. Первая из них относится к структуре, которая приписывается формальным объектам. В лингвистическом представлении термы и формулы были конечными последовательностями формальных символов, в которых существенные части распознавались как подпоследовательности, тогда как в обобщенной арифметике они строятся непосредственно из таких существенных частей при помощи обобщенной операции следования. В обобщенной арифметике разложение выражений на их существенные части ( включая употребление скобок) переносится из формальной области в область изложения метаматематики, где мы перестаем заботиться об этой проблеме. [25]