Cтраница 2
Понятно, что значительную часть результатов § 5.3 можно обобщить на д - Р1 - кольца. Хотя категория периодических модулей над 2 / г - Р1 - кольцами не обязана быть абелевой, но мы увидим ниже, что она удовлетворяет некоторому близкому к абелевости условию. [16]
Группа TTi была введена еще Пуанкаре. Ее обобщения тгп на п 1 были введены в начале 1930 - х годов ( Гуревич); поначалу структура Z [ TT ] - модуля замечена не была, и абелевость групп тгп для п 1 создала ошибочное впечатление формальной простоты этих объектов фавнительно с тг. Лишь позднее ( по-видимому, начиная с Уайтхеда, около 1940 - х гг.) начала эпизодически использоваться структура модуля. Активное и систематическое использование структуры г [ тг ] - модулей на высших гомотопических группах началось с 1960 - х годов в рамках интенсивного развития теории неод-носвязных многообразий. [17]
Мы приведем полное доказательство, поскольку оно почти элементарно и весьма поучительно, так как иллюстрирует многие идеи локального анализа - в частности, те, которые использовались в доказательстве Zy-теоремы Глаубермана. Так как X является 2-скованной группой ( в силу разрешимости X) с тривиальным ядром, то Z Z ( 02 ( X)) и, следовательно, W Z ( 02 ( X)), где W обозначает нормальное замыкание Z в X. Из абелевости Z ( 02 ( X)) следует абелевость W. [18]
Мы приведем полное доказательство, поскольку оно почти элементарно и весьма поучительно, так как иллюстрирует многие идеи локального анализа - в частности, те, которые использовались в доказательстве Zy-теоремы Глаубермана. Так как X является 2-скованной группой ( в силу разрешимости X) с тривиальным ядром, то Z Z ( 02 ( X)) и, следовательно, W Z ( 02 ( X)), где W обозначает нормальное замыкание Z в X. Из абелевости Z ( 02 ( X)) следует абелевость W. [19]
По теореме 8.6.1 Ci lfCf есть прямое произведение изоморфных между собой простых групп. По теореме 9.2.2 эти простые группы разрешимы, а следовательно, цикличны и имеют простой порядок. Обратно, если группа G обладает таким главным рядом, то в силу абелевости его фактор-групп, G - разрешимая группа. CS JCS соответственно называются главными факторами группы G и, как показано, являются степенями простых чисел. Ясно, что для фактор-группы G / K главные-факторы образуют подмножество главных факторов всей группы G, так как существуют главные ряды группы G, содержащие инвариантную подгруппу К. [20]
Вопрос о справедливости утверждения этой теоремы для произвольной бесконечной группы с условием минимальности для подгрупп в общем случае пока ( 1977) не решен. Само условие минимальности подвергалось при этом существенным ограничениям: налагалось не на все подгруппы, а лишь на подгруппы, удовлетворяющие тем или иным дополнительным требованиям ( инвариантность, абелевость, конечность индекса, примарность и пр. [21]
Доказательство леммы 52.23 состоит в доказательстве того, что порядок критической группы из 6 ( е, т, с) ограничен функцией, зависящей только от е, т, с. Так как существует только конечное число неизоморфных групп любого данного порядка, число критических групп в & ( е, т, с) будет тогда конечно. Приведенная ниже процедура близка к процедуре, использованной Шейлой Оутс и М. Б. Пауэллом для ограничения порядка критической группы с абелевым монолитом в терминах е, т, с и его одного инварианта - к нему мы вернемся после окончания доказательства. При настоящей модификации не обязательно делать предположение об абелевости монолита. [22]
Очевидно, если 5 - абелева, то 5 нормальна, и это одна из причин, по которой очень важно знать, является ли полугруппа абелевой. Но это не было известно для произвольных неприводимых полугрупп, пока Мостерт и Хофманн не доказали их абелевость. [23]
Группу G0 можно транзитивно представить подстановками смежных классов по HQ. Это представление трижды транзитивно. Если порядок я делит q - 1, то я сопряжен с элементом из К. Если порядок делит q 1, то я сопряжен с элементом из V. В силу леммы 1 неединичные элементы из К распадаются на ( q - 2) / 2 классов. Так как существует точно q классов неединичных вещественных элементов ( см. лемму 11), то V содержит точно q / 2 классов. Так как V - циклическая группа, состоящая из строго вещественных элементов, то из леммы 12 следует абелевость W. Из этой же леммы вытекает, что каждый неединичный элемент со ЕГ - W строго вещественный и что CG ( со) W. Если порядок со делит q - 1, то со сопряжен с элементом из К. [24]