Cтраница 3
Как результат мы установим, что внешне различные ( а фактически равносильные) определения приводимости означают локальную компактность множества решений. [31]
Так как К х L замкнуто в Е х Е, то 0 ( К х L) замкнуто в Р ( К, L) х К и, значит, в предположениях пункта в) компактно. Поскольку всякое компактное множество в Е X Е содержится в компактном множестве вида К X L, заключаем, что прообраз относительно 9 произвольного компактного множества таз Е X Е компактен; в силу локальной компактности Е X Е это доказывает, что 0 совершенно ( гл. [32]
Уже при создании теории приводимости возникла гипотеза, что свойство приводимости не зависит от внешнего объекта ( уравнения), а является исключительно свойством множества решений. Эта гипотеза нашла подтверждение в работе Н. В. Азбелева, В.П.Максимова, С.П.Худякова [3], где выяснено, что для линейных уравнений приводимость эквивалентна конечномерной параметризации множества решений, а затем в нелинейном случае в работе С. А. Гусаренко [6], где показано, что приводимость эквивалентна локальной компактности множества решений. [33]
Аксиомы А, В, С проверяются автоматически ( ср. Аксиома D является следствием локальной компактности пространства R. Полученное пространство R Jt компактно. [34]
Локально компактные пространства, счетные в бесконечности. С помощью этого понятия устанавливается некоторая связь между локальной компактностью и паракомпактностью. [35]
Докажем, что пространство ( У, i) хаусдорфово. В силу хаусдорфовости А для любых двух точек из X ( они входят и в У) существуют дизъюнктные окрестности. Рассмотрим только тот случай, когда одна из точек, например х, принадлежит X, а вторая - со. Из локальной компактности X следует, что в X найдется такая окрестность и точки л:, что ее замыкание и компактно. [36]
Понтрягина без существенных изменений распространяются на произвольные локально бикомпактные коммутативные группы. Именно, в 1941 г. Шевалле опубликовал следующий результат: всякая локально компактная, связная, локально связная разрешимая группа конечной размерности есть группа Ли. Тем самым им была решена утвердительно пятая проблема Гильберта для разрешимых групп. Мальцев [19] выяснил строение более широкого класса разрешимых групп, удовлетворяющих только условию связности и локальной компактности. Оказалось, что все эти группы аппроксимируемы с любой степенью точности группами Ли по центральным компактным подгруппам и локально изоморфны прямым произведениям групп Ли на компактные абелевы группы. [37]
В этом случае, в частности, кольцо E ( Dv) можно рассматривать как правое Е ( К, v) - пространство, размерность которого называется относительной степенью алгебры D над полем К. По определению f ( D / K) является неотрицательным числом или оо. Цель этого параграфа - установить некоторые основные - свойства индекса ветвления e ( D / F) и относительной степени f ( D / F) в случае, когда F - локальное поле, а алгебра D - конечномерная алгебра с делением над F. В следующих леммах условие локальной компактности не требуется. [38]
Доклад опубликован в Unterrichtsblatter fiir Mathematik und Naturwissenschaften. Мир, 1972: Мне неоднократно указывали, что многие важные факты и содержательные результаты, касающиеся локальных полей, могут быть доказаны чисто алгебраическими средствами без использования локальной компактности и поэтому сохраняют силу при значительно более общих предположениях. Но, быть может, никто не будет сомневаться, что мне известно об этом обстоятельстве, равно как и о возможности аналогичного обобщения даже таких глобальных результатов, как теорема Римана - Роха. [39]
Множество и П G открыто в X. ЗГ)) для окрестности и П G точки ха в и существует такая окрестность и, что и - с и П G, где v - - замыкание и в и. Следовательно, v является окрестностью точки х0 в подпространстве G. Покажем, что замыкание ив G, т.е. множество VG, компактно. G совпадает с замыканием ивы. Тогда множество уиПс компактно и по теореме 5.7 замкнуто в G. Поскольку и по ус множество и0 тоже компактно. G существует окрестность и, замыкание которой VG компактно в G, что означает локальную компактность множества G. [40]