Cтраница 1
Вариационный комплекс естественно расщепляется на две составляющие. В первой части соответствующие дифференциальные формы - это выражения, включающие дифференциалы dxl независимых переменных, коэффициенты которых, однако, являются дифференциальными функциями. Обычный дифференциал d при этом заменяется полным дифференциалом D, который используется вместо частных производных. Хотя определения здесь проще, доказательство точности является намного более сложным и требует техники операторов Эйлера высших порядков, развитой в конце этого параграфа. Результат о нулевых дивергенциях появляется в предпоследнем члене этой части комплекса. Во второй части вариационного комплекса роль функций берут на себя функционалы вариационного исчисления, а функциональные формы определяются аналогично. [1]
Точность вариационного комплекса в члене Л особенно важна, поскольку она дает вышеупомянутое решение обратной задачи вариационного исчисления. [2]
История вариационного комплекса и, в частности, обратной задачи вариационного исчисления довольно интересна. Гельм-гольц в работе Helmholtz [1] впервые предложил задачу выяснения того, какие системы дифференциальных уравнений являются уравнениями Эйлера - Лагранжа некоторой вариационной задачи, и нашел необходимые условия для случая одного обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка. В работе Mayer [1] получено обобщение условий Гельмгольца на случай лагранжианов первого порядка, содержащих одну независимую переменную и несколько зависимых, а также доказано, что они достаточны, чтобы гарантировать существование подходящего функционала. В двух серьезных статьях на эту тему Hirsch [1], [2] Хирш распространил эти результаты на случаи лагранжианов высших порядков, содержащих либо одну независимую и несколько зависимых переменных, либо две или три независимых и одну зависимую переменные. Работы Хирша содержат также дальнейшие результаты о том, каких порядков производные могут возникать в лагранжиане, а также о проблеме интегрирующего множителя: когда можно умножить дифференциальное уравнение на дифференциальную функцию так, чтобы превратить его в уравнение Эйлера - Лагранжа. Вайнберг [1], где приводится современный вариант. [3]
Первая часть вариационного комплекса получается переформулировкой комплекса де Рама для пространства дифференциальных функций, определенных на М сг X X И. [4]
Ян Андерсон внес заметный вклад в современное развитие теории вариационного комплекса и операторов Эйлера высших порядков, составивших предмет § 5.4, а также помог с историческим материалом, читал, критиковал и помогал улучшить рукопись в процессе подготовки книги. [5]
Лр 1 - Лр - - - 0, но это не так интересно, как полный вариационный комплекс. [6]
Теперь мы применим формулу (5.95) к случаю векторного поля растяжения prvu, введенного ранее в доказательстве точности вариационного комплекса. [7]
В начале 1970 - х годов стало ясно, что обратная задача является частью более общей конструкции - вариационного комплекса и, более общо, вариационного бикомплекса, занявшего видное положение в геометрической теории вариационного исчисления. [8]
Наибольшие алгебраические трудности следует отнести к § 5.4, где в полном своем великолепии для истинного любителя боя быков развивается вариационный комплекс. [9]
Каждый из этих результатов жизненно важен для развития наших приложений теории групп Ли к изучению законов сохранения и гамильтоновых структур для эволюционных уравнений и может рассматриваться как частный случай точности всего вариационного комплекса. [10]
Лежащий в основе многих наших алгебраических манипуляций, включающих симметрии, законы сохранения, дифференциальные операторы и тому подобное, предмет, лучше всего описываемый как формальное вариационное исчисление, является некоторым комплексом, называемым вариационным комплексом. В вариационном исчислении он играет ту же роль, что комплекс де Рама в обычном векторном исчислении на многообразиях. Имеются три фундаментальных результата, мотивирующих рассмотрение этого комплекса: первый - это ха-рактеризация ядра оператора Эйлера как пространства полных дивергенций; второй - характеризация ( в теореме 4.24) пространства нулевых дивергенций ( тривиальных законов сохранения второго типа) как полных роторов; третий - вариант Гельмгольца обратной задачи вариационного исчисления, который устанавливает, когда данное множество дифференциальных уравнений представляет собой уравнения Эйлера - Лагранжа для некоторой вариационной задачи. [11]
В частности, форма to замкнута, если и только если Dp - симметрический дифференциальный оператор. Точность вариационного комплекса в совокупности с явным видом оператора гомо-топии (5.84) дают, таким образом, полное решение задачи ха-рактеризации образа оператора Эйлера - Лагранжа. [12]
Таким образом, за отображением D: ЛР 1 - ЛР должен следовать оператор Эйлера или вариационная производная, возможно, в более внутренней форме. Это будет осуществлено, и вариационный комплекс продолжится даже дальше посредством введения функциональных форм и вариационных дифференциалов, которые в некотором смысле делают с зависимыми переменными то, что D-комплекс делает с независимыми переменными. [13]
Соотношение коммутативности ( 5.74 с) гарантирует, что этот оператор корректно определен на пространствах функциональных форм. Основные свойства сразу же выводятся из свойств вертикального дифференциала, так что мы немедленно получаем точный вариационный комплекс. [14]
Изначально возникшие как инструмент для многомерного обобщения теоремы Стокса, дифференциальные формы играют фундаментальную роль в топологических вопросах дифференциальной геометрии. Хотя в этой книге я стремился не придавать особого значения использованию дифференциальных форм, имеется несколько ситуаций ( наиболее заметных в § 5.4 о вариационном комплексе), в которых язык дифференциальных форм исключительно эффективен. Настоящий параграф дает краткое введение в теорию дифференциальных форм для читателя, интересующегося этими более теоретическими аспектами данного предмета. Мы начинаем с основного определения. [15]