Cтраница 2
Предмет, лежащий в основе большей части теории обобщенных симметрии, законов сохранения и гамильтоновых структур для эволюционных уравнений, известен как формальное вариационное исчисление и представляет собой исчисление, специально изобретенное для ответа на широкий круг вопросов, относящихся к сложным алгебраическим тождествам между такими объектами, как оператор Эйлера из вариационного исчисления, обобщенные симметрии, полные производные и более общие дифференциальные операторы и различные обобщения понятия дифференциальной формы. В последние годы этот вариационный комплекс, как стало видно, играет все более важную роль в развитии алгебраической и геометрической теории вариационного исчисления. [16]
Хотя объекты этой части меньше нам знакомы, доказательство точности получается с помощью относительно простого расширения оператора гомотопии де Рама. Сюда включается решение обратной задачи Гельмгольца вариационного исчисления. Сам оператор Эйлера обеспечивает связь между этими двумя составляющими; характеризация нулевых лагранжианов дает оставшийся шаг в полной точности вариационного комплекса. [17]
Приложения, охваченные книгой, включают вычисление групп симметрии дифференциальных уравнений, интегрирование обыкновенных дифференциальных уравнений, в том числе специальную технику для уравнений Эйлера - Лагранжа или гамильтоновых систем, дифференциальные инварианты и построение уравнений с предписанными группами симметрии, инвариантные относительно групп решения уравнений с частными производными, теорию размерности, связь между законами сохранения и группами симметрии. Подробно рассматриваются обобщения основного понятия группы симметрии и их приложения к законам сохранения, условия интегрируемости, вполне интегрируемые системы, солитонные уравнения и бигамильтоновы системы. Изложение в разумных пределах замкнуто в себе и дополнено многочисленными примерами, представляющими непосредственный физический интерес и взятыми из классической механики, механики жидкости, теории упругости и других прикладных областей. Кроме основополагающей теории многообразий, групп и алгебр Ли, групп преобразований и дифференциальных форм в книге рассматриваются более специальные вопросы теории продолжения и дифференциальных уравнений: теорема Коши - Ковалевской, характеристики и интегрируемость дифференциальных уравнений, расширенные пространства струй на многообразиях, фактормногообразия, присоединенное и коприсоеди-ненное представления групп Ли, вариационное исчисление и обратная задача характеризации систем, являющихся уравнениями Эйлера - Лагранжа некоторой вариационной задачи, дифференциальные операторы, операторы Эйлера высших порядков и вариационные комплексы, общая теория пуассоновых структур как для конечномерных гамильтоновых систем, так и для систем эволюционных уравнений. Все это имеет непосредственное отношение к изучению симметрии дифференциальных уравнений. Предполагается, что, прочитав эту книгу, читатель будет в состоянии с минимумом трудностей применить эти важные теоретико-групповые методы к интересующим его системам дифференциальных уравнений и сделать новые интересные выводы об этих системах. [18]
Вариационный комплекс естественно расщепляется на две составляющие. В первой части соответствующие дифференциальные формы - это выражения, включающие дифференциалы dxl независимых переменных, коэффициенты которых, однако, являются дифференциальными функциями. Обычный дифференциал d при этом заменяется полным дифференциалом D, который используется вместо частных производных. Хотя определения здесь проще, доказательство точности является намного более сложным и требует техники операторов Эйлера высших порядков, развитой в конце этого параграфа. Результат о нулевых дивергенциях появляется в предпоследнем члене этой части комплекса. Во второй части вариационного комплекса роль функций берут на себя функционалы вариационного исчисления, а функциональные формы определяются аналогично. [19]