Cтраница 3
Теперь мы показываем, что определенная таким образом Р - функция позволяет нам представить матрицу плотности в диагональной форме в базисе когерентных состояний. Кроме того, мы обсуждаем ее связь с Q-функцией. Мы заканчиваем этот раздел, приведя различные примеры. [31]
Это соотношение позволяет нам найти Р - распределение для произвольного квантового состояния по его Q-функции. Для этой цели мы сначала должны вычислить преобразование Фурье Q-функции, а затем вычислить указанный выше интеграл. В Приложении К мы следуем этому подходу для получения Р - функций различных квантовых состояний, которые обсуждаются в следующем разделе. [32]
Для расчета плотности вероятности закона Рэлея-Раиса с помощью MATLAB придется непосредственно воспользоваться формулой (1.55), поскольку пакет расширения Statistics не содержит специальных средств для этого. Функция распределения закона Рэлея - Раиса выражается через так называемую Q-функцию Маркума. [33]
Это дает выражение (12.29) для Р - функции. Затем мы выполняем интегрирование по фазовому пространству вместе с Q-функцией Qa интересующего нас квантового состояния, то есть когерентного состояния. [34]
Кроме того, уравнение (12.43) проливает свет на тот факт, что Q-функция всегда шире, чем Р - функция. Уравнение (12.40) показывает, что из-за гауссовской функции с отрицательным показателем экспоненты фурье-образ Q-функции всегда уже, чем фурье-образ Р - функции. Поэтому обратное преобразование Фурье Q, то есть сама Q-функция, всегда шире, чем Р - функция. [35]
Эти две неопределенности, с точностью до фактора 2, обратны друг другу. В следующем разделе мы покажем, что этого не происходит, когда мы представляем сжатое состояние с помощью Q-функции. [36]
Таким образом, мы нашли экспериментально наблюдаемое фазовое распределение, которое связано с фазовым пространством. В предельном случае сильного локального осциллятора фазовое распределение У ( ф), соответствующее наблюдаемым фазовым операторам, логически следует из Q-функции. Действительно, выражая ( - функцию в полярных координатах и интегрируя по радиусу, мы находим это фазовое распределение. [37]
Напомним, что функция Вигнера подчеркивает саму сущность интерференции и поэтому полезна, когда мы хотим изучать интерференционные явления. Один вопрос, тем не менее, остается: если отвлечься от наглядного изображения квантового состояния, какая еще есть польза от функции распределения в фазовом пространстве. В данном разделе мы показываем, что Q-функция может быть использована для вычисления среднего значения антинормально упорядоченного произведения операторов уничтожения и рождения. [38]
Эти распределения служат еще одним превосходным наглядным изображением квантовых состояний. Более того, по сравнению с функцией Вигнера Q-функции имеют то преимущество, что они всегда положительны. Это подводит нас к вопросу: почему бы не использовать ( - функцию, а не функцию Вигнера. [39]
Кроме того, уравнение (12.43) проливает свет на тот факт, что Q-функция всегда шире, чем Р - функция. Уравнение (12.40) показывает, что из-за гауссовской функции с отрицательным показателем экспоненты фурье-образ Q-функции всегда уже, чем фурье-образ Р - функции. Поэтому обратное преобразование Фурье Q, то есть сама Q-функция, всегда шире, чем Р - функция. [40]
Как это рассмотрение связано с фазовым пространством. В разделе 13.3.4 мы показали, что в предельном случае сильного локального осциллятора распределение фотоотсчетов W ( n n § §) представляет собой, с точностью до масштабного множителя, ( - функцию состояния входящего поля. Кроме того, косинус - и синус-операторы удовлетворяют стандартным тригонометрическим соотношениям. Это наводит на мысль определить фазовое распределение как результат интегрирования Q-функции квантового состояния по радиусу. Теперь мы покажем, что это фазовое распределение действительно лежит в основе экспериментально наблюдаемых фазовых операторов. [41]